Résumer une série : effectifs, fréquences, moyenne et médiane

Quand on relève une même information sur beaucoup de personnes ou d'objets, on obtient une série statistique. Les personnes ou objets étudiés sont les individus ; l'information relevée est le caractère (une note, une durée, une taille) ; les résultats possibles sont les valeurs.

Une liste de $25$ notes n'apprend rien telle quelle : elle est trop longue pour être lue d'un coup d'œil. Toute la statistique consiste à la résumer — sans mentir sur ce qu'elle contient.

Premier résumé : le tableau d'effectifs. L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus qui ont cette valeur. L'effectif total est le nombre total d'individus, c'est-à-dire la somme de tous les effectifs.

Ici, $6$ élèves ont eu $12$, et l'effectif total vaut $2 + 4 + 6 + 8 + 5 = 25$. Attention : l'effectif total n'est pas le nombre de colonnes du tableau (il y en a cinq), c'est bien le nombre d'élèves (il y en a $25$).

Deuxième résumé : la fréquence. L'effectif dit combien ; la fréquence dit quelle part du total. C'est une proportion :

Pour la note $12$ : $\dfrac{6}{25} = 0{,}24$, soit $24\ \%$ des élèves.

La différence entre les deux est essentielle. L'effectif $6$ est un nombre d'élèves ; la fréquence $24\ \%$ est une part. Dire « $6\ \%$ des élèves ont eu $12$ » est faux, et dire « la fréquence est $6$ » n'a aucun sens : une fréquence est toujours comprise entre $0$ et $1$ (ou entre $0\ \%$ et $100\ \%$). C'est la fréquence, et elle seule, qui permet de comparer deux classes d'effectifs différents.

Troisième résumé : la moyenne. La moyenne est la valeur qu'auraient tous les individus si l'on répartissait le total également entre eux. On l'obtient en additionnant toutes les valeurs relevées, puis en divisant par l'effectif total.

Le mécanisme : pourquoi il faut pondérer. Dans le tableau ci-dessus, la note $14$ n'a pas été obtenue une fois, mais huit fois. Elle doit donc peser huit fois dans le calcul. On multiplie chaque valeur par son effectif — c'est ce qu'on appelle pondérer — puis on additionne, puis on divise par l'effectif total :

Faire la moyenne des seules valeurs du tableau, $\dfrac{8 + 10 + 12 + 14 + 16}{5} = 12$, donnerait un résultat faux, parce que cela reviendrait à supposer que chaque note a été obtenue une seule fois. Le tableau dit le contraire.

La médiane : couper la série en deux.

La médiane d'une série est une valeur telle qu'au moins la moitié des valeurs de la série lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.

La méthode tient en deux gestes, et l'ordre des deux est capital :

1. trier la série dans l'ordre croissant ;
2. prendre la valeur du milieu de la liste triée.

Sur la série brute $12$ ; $7$ ; $15$ ; $9$ ; $21$ ; $11$ ; $8$ ; $14$ ; $10$, il y a $9$ valeurs. Triées :

La valeur du milieu est la cinquième : quatre valeurs avant, quatre après. La médiane vaut donc $11$.

Sans le tri, la cinquième valeur de la liste d'origine serait $21$ — un nombre qui n'a aucune signification statistique. La position centrale d'une liste non triée ne veut rien dire.

Quand l'effectif est impair, la médiane est toujours l'une des valeurs de la série, et sa position se calcule : pour $n$ valeurs, c'est la valeur de rang $\dfrac{n+1}{2}$. Pour $n = 9$, c'est le rang $5$. Pour $n = 13$, le rang $7$.

Quand l'effectif est pair, la liste ordonnée possède deux valeurs centrales. Une convention doit préciser comment on choisit la médiane. Les exercices associés à cette leçon se limitent aux effectifs impairs ; le parcours suivant explicitera la demi-somme des valeurs centrales.

La médiane dans un tableau d'effectifs. C'est la forme que tu rencontreras le plus souvent, et elle se traite avec la même règle. Reprends le tableau des notes : l'effectif total vaut $25$, un nombre impair, donc la médiane est la valeur de rang $\dfrac{25+1}{2} = 13$ de la série triée. Inutile de réécrire les $25$ notes : cumule les effectifs de gauche à droite. Après la colonne $8$ : $2$ élèves. Après la colonne $10$ : $6$. Après la colonne $12$ : $12$. Après la colonne $14$ : $20$. La treizième note est donc la première à tomber au-delà de $12$ élèves : elle se trouve dans la colonne $14$.

La médiane vaut $14$, alors que la moyenne vaut $12{,}8$. Deux résumés de la même série, deux nombres différents — et aucun des deux n'est faux.

Moyenne ou médiane : deux résumés différents. Les deux répondent à la question « quelle valeur représente la série ? », mais pas de la même façon.

• La moyenne tient compte de toutes les valeurs, y compris les valeurs extrêmes. Une seule valeur très éloignée la déplace.
• La médiane ne regarde que le rang des valeurs. Elle est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne. Modifier une valeur en la laissant du même côté des rangs centraux ne change pas la médiane ; déplacer cette valeur au-delà de ces rangs peut la modifier.

Un exemple parlant : dans une petite entreprise, huit salariés gagnent $1\,800$ € par mois et le patron $18\,000$ €. Cela fait neuf personnes. La moyenne vaut

soit $3\,600$ € — alors que personne ne gagne cette somme. La médiane, elle, est la valeur de rang $\dfrac{9+1}{2} = 5$ de la série triée : elle vaut $1\,800$ €, et décrit bien mieux la situation de la plupart des salariés. Aucun des deux résumés n'est « meilleur » dans l'absolu : ils disent des choses différentes, et un bon compte rendu donne souvent les deux.

Les fréquences se contrôlent. La somme de toutes les fréquences exactes d'une série vaut toujours $1$, c'est-à-dire $100\ \%$. Sur notre tableau : $8 + 16 + 24 + 32 + 20 = 100$. Si la somme des fréquences exactes diffère de $100\ \%$, vérifie les effectifs et le total. Des pourcentages arrondis peuvent toutefois donner une somme légèrement différente de $100\ \%$.

Passer d'un pourcentage à un effectif. L'opération inverse est utile : si $24\ \%$ des $25$ élèves ont eu $12$, l'effectif correspondant vaut $\dfrac{24}{100} \times 25 = 6$ élèves. Un effectif est un nombre d'individus : il est entier. Si le calcul à partir d’un pourcentage supposé exact donne $6{,}3$ élèves, vérifie les données ; un pourcentage arrondi peut nécessiter de retrouver l’effectif compatible avec cet arrondi.

Lire un diagramme en barres. Sur un diagramme en barres, la hauteur de chaque barre représente l'effectif de la valeur ; l'axe vertical porte la graduation. Avant toute lecture, regarde l'axe : commence-t-il à zéro ? Une graduation qui démarre à $10$ exagère visuellement les écarts. Les données restent justes, mais l'impression visuelle, elle, peut tromper.

Énoncé. Un professeur relève les notes d'un contrôle dans sa classe.

1. Combien d'élèves ont composé ? 2) Quelle est la fréquence, en pourcentage, de la note $12$ ? 3) Quelle est la note moyenne de la classe ? 4) Le professeur relève par ailleurs les durées de résolution, en minutes, de neuf élèves, dans l'ordre du relevé : $12$ ; $7$ ; $15$ ; $9$ ; $21$ ; $11$ ; $8$ ; $14$ ; $10$. Quelle est la médiane de cette série ?

1) L'effectif total.

L'effectif total est la somme de tous les effectifs, pas le nombre de colonnes.

$25$ élèves ont composé.

2) La fréquence de la note 12.

Étape 1 — repérer l'effectif de la valeur demandée. La colonne « $12$ » porte l'effectif $6$ : six élèves ont eu $12$.

Étape 2 — diviser par l'effectif total.

Étape 3 — convertir en pourcentage en multipliant par $100$ :

La fréquence de la note $12$ est $24\ \%$.

Étape 4 — contrôler. Les cinq fréquences valent $8\ \%$, $16\ \%$, $24\ \%$, $32\ \%$ et $20\ \%$. Leur somme fait $100\ \%$ : cohérent.

Piège évité : la réponse n'est pas $6\ \%$. $6$ est un effectif, un nombre d'élèves ; $24\ \%$ est une part du total.

3) La note moyenne.

Étape 1 — pondérer. Chaque note compte autant de fois que son effectif :

Calculons produit par produit : $16$, puis $40$, puis $72$, puis $112$, puis $80$.

Étape 2 — additionner ces produits.

Ce nombre, $320$, est la somme de toutes les notes de la classe.

Étape 3 — diviser par l'effectif TOTAL, c'est-à-dire par $25$, et non par $5$ :

La note moyenne est $12{,}8$.

Étape 4 — contrôler. La moyenne doit toujours se situer entre la plus petite et la plus grande valeur : $8 < 12{,}8 < 16$. Cohérent. On peut aller plus loin : les effectifs sont plus lourds du côté des bonnes notes ($8$ élèves à $14$, $5$ à $16$), donc la moyenne doit dépasser le milieu $12$ de l'intervalle. Elle le dépasse bien.

Piège évité : la moyenne des seules valeurs du tableau, $\dfrac{8+10+12+14+16}{5} = 12$, ignore les effectifs. Elle vaut $12$, et non $12{,}8$ : l'écart est réel et il est faux de l'ignorer.

4) La médiane des durées.

Étape 1 — trier, sans rien perdre :

Compte les valeurs après le tri : il doit toujours y en avoir neuf.

Étape 2 — repérer le milieu. $9$ valeurs, effectif impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{9+1}{2} = 5$.

Étape 3 — lire la cinquième valeur de la liste TRIÉE : $7$, $8$, $9$, $10$, puis $\mathbf{11}$. La médiane est $11$ minutes.

Étape 4 — contrôler. Dans la liste triée, quatre durées la précèdent ($7$, $8$, $9$, $10$) et quatre la suivent ($12$, $14$, $15$, $21$). La série est bien coupée en deux parts de même effectif.

Le moment décisif : l'étape 1. La cinquième valeur de la liste non triée est $21$, qui n'est pas la médiane — c'est même la durée la plus longue de toute la série. Sans tri, la position centrale n'a aucun sens.

Figure (fig.statistics.mean-median-table, SVG programmatique) : trois panneaux qui relient le tableau, le diagramme, et les deux résumés — moyenne et médiane.

• Panneau supérieur — le tableau devient un diagramme. À gauche, le tableau d'effectifs des notes ($8$, $10$, $12$, $14$, $16$ ; effectifs $2$, $4$, $6$, $8$, $5$). À droite, le diagramme en barres correspondant : axe horizontal gradué par les notes, axe vertical gradué par les effectifs à partir de zéro, cinq barres de hauteurs $2$, $4$, $6$, $8$, $5$. Cinq traits fins relient chaque colonne du tableau à sa barre. Sous l'axe vertical, la mention « l'axe part de zéro » avec une petite coche.
• Panneau central — la moyenne est un équilibre. Le même diagramme, posé sur un fléau horizontal dont le point d'appui triangulaire est placé exactement à l'abscisse $12{,}8$, marquée par une ligne verticale en tirets qui traverse tout le diagramme et porte l'étiquette « moyenne $= 12{,}8$ ». Une seconde ligne verticale, en pointillés plus fins et d'une autre trame, est placée à $12$ et porte l'étiquette barrée « moyenne des valeurs sans les effectifs ». L'écart entre les deux lignes est coté, avec la mention « $0{,}8$ : ce que coûte l'oubli de la pondération ». Sous le panneau, le calcul complet en une ligne : $\dfrac{8 \times 2 + 10 \times 4 + 12 \times 6 + 14 \times 8 + 16 \times 5}{25} = \dfrac{320}{25} = 12{,}8$.
• Panneau inférieur — la médiane est un rang. Deux rubans horizontaux de neuf cases chacun, l'un au-dessus de l'autre. Le ruban du haut porte la série dans l'ordre du relevé ($12$, $7$, $15$, $9$, $21$, $11$, $8$, $14$, $10$) ; sa case centrale, qui contient $21$, est entourée d'un trait barré et annotée « position centrale d'une liste non triée : ne veut rien dire ». Le ruban du bas porte la même série triée ; sa case centrale, qui contient $11$, est encadrée d'un trait épais et annotée « médiane ». Une accolade à gauche couvre les quatre premières cases du ruban trié (« quatre valeurs en dessous ») et une accolade symétrique à droite couvre les quatre dernières (« quatre valeurs au-dessus »). Une flèche verticale relie la case $21$ du ruban du haut à sa position réelle, la dernière case du ruban du bas.

Ce qu'il faut lire. En haut : le diagramme ne contient rien de plus que le tableau, il le rend seulement lisible d'un coup d'œil — et l'axe des effectifs doit partir de zéro, sans quoi les écarts paraissent plus grands qu'ils ne sont. Au centre : la moyenne est le point d'équilibre du diagramme, et la ligne fantôme à $12$ montre exactement de combien on se trompe en oubliant de pondérer. En bas : la médiane est une affaire de rang, pas de position sur la feuille ; la flèche qui emmène le $21$ du centre du premier ruban à l'extrémité du second rend l'erreur visible d'un seul regard.

La figure en détail : trois panneaux. En haut, un tableau d'effectifs des notes huit, dix, douze, quatorze et seize, d'effectifs deux, quatre, six, huit et cinq, est relié par des traits fins à un diagramme en barres de mêmes hauteurs, dont l'axe vertical part de zéro. Au centre, le même diagramme repose sur un fléau dont le point d'appui est placé à l'abscisse douze virgule huit, marquée d'une ligne verticale en tirets étiquetée moyenne ; une seconde ligne, à douze, est étiquetée et barrée comme étant la moyenne des valeurs sans les effectifs, et l'écart de zéro virgule huit entre les deux lignes est coté. En bas, deux rubans de neuf cases présentent la même série de durées, d'abord dans l'ordre du relevé, où la case centrale contient vingt et un et est barrée, puis triée, où la case centrale contient onze et est encadrée ; deux accolades indiquent quatre valeurs en dessous et quatre valeurs au-dessus, et une flèche relie la case vingt et un à sa position réelle en fin de série triée.