Datation isotopique : construire et lire une isochrone

Un isotope parent radioactif $P$ se transforme en isotope fils radiogénique $D^*$. Dans un système fermé, $P(t)=P_0e^{-\lambda t}$, où $\lambda>0$ est la constante de désintégration. Le fils présent aujourd'hui comprend le fils initial et le fils produit depuis la fermeture : $D(t)=D_0+P(t)(e^{\lambda t}-1)$.

La méthode isochrone utilise plusieurs minéraux cogénétiques, de même âge de fermeture et de même rapport isotopique initial du fils à un isotope stable de référence $S$. Leurs rapports parent/référence diffèrent. En divisant par $S$, vous obtenez une relation affine entre deux rapports mesurés. Ce n'est pas une méthode qui suppose que le fils initial était nul.

Posez $x=P/S$ et $y=D/S$. Alors $y=b+mx$, avec $b=(D/S)_0$ et $m=e^{\lambda t}-1$. Une pente positive donne $t=\ln(1+m)/\lambda$. L'ordonnée à l'origine estime le rapport initial ; elle n'est pas l'âge.

Les conditions géologiques sont décisives : même événement daté, système resté fermé depuis cet événement, composition initiale commune pour le rapport du fils, absence de mélange trompeur. Une droite seule ne prouve pas ces hypothèses. Les mesures réelles portent des incertitudes sur les deux coordonnées, souvent corrélées : une régression adaptée et son incertitude sont nécessaires. Un âge peut dater une cristallisation ou une fermeture isotopique postérieure, selon le système et l'histoire thermique.

Dans un jeu de données fictif, trois minéraux donnent $(x,y)=(1;0{,}71)$, $(3;0{,}73)$ et $(5;0{,}75)$. La pente vaut $(0{,}75-0{,}71)/(5-1)=0{,}0100$. L'ordonnée à l'origine vaut $0{,}71-0{,}0100\times1=0{,}700$.

L'énoncé fournit une constante illustrative $\lambda=1{,}00\times10^{-11}\ \mathrm{an^{-1}}$, sans l'attribuer à un isotope réel. L'âge est $\ln(1{,}0100)/10^{-11}=9{,}9503\times10^8\ \mathrm{ans}$, soit environ $995\ \mathrm{Ma}$. Vérification : $e^{\lambda t}-1$ redonne $0{,}0100$.

L'approximation $\ln(1+m)\simeq m$ donnerait $1{,}00\ \mathrm{Ga}$, proche mais non exactement égale. Elle n'est recevable que si la précision demandée et la petitesse de $m$ le permettent.

La figure place les trois points fictifs et la droite $y=0{,}700+0{,}0100x$. Les abscisses et ordonnées sont des rapports de nombres d'atomes, sans unité. Les deux axes n'ont pas la même échelle graphique : la pente se calcule avec leurs valeurs, jamais avec un angle mesuré sur la feuille.

L'intersection avec l'axe vertical donne le rapport initial $0{,}700$. La variation de $0{,}04$ en ordonnée pour une variation de $4$ en abscisse donne la pente $0{,}0100$ qui porte l'information d'âge.