Lire la structure du globe dans les ondes sismiques

Le forage le plus profond jamais réalisé dépasse à peine douze kilomètres ; le rayon terrestre en fait $6\,370$. Les temps de propagation des ondes constituent un moyen majeur d’étudier l’intérieur du globe ; gravimétrie, échantillons et expériences apportent aussi des contraintes. Ce chapitre apprend à lire ces chronomètres.

Deux ondes de volume. Un séisme émet des ondes P (premières, de compression : la matière vibre dans le sens de propagation, comme un ressort) et des ondes S (secondes, de cisaillement : la matière vibre perpendiculairement). Deux propriétés décident de tout :

• dans les solides isotropes du modèle étudié, les P sont plus rapides que les S ; le rapport vaut environ $1{,}7$ pour les vitesses crustales données ici ($v_P \approx 6{,}0$ et $v_S \approx 3{,}5\ \mathrm{km \cdot s^{-1}}$ dans la croûte continentale) ;
• les S ne se propagent pas dans un liquide : un liquide n'oppose aucune résistance au cisaillement.

La vitesse dépend du milieu, pas de la profondeur. C'est la nature et l'état de la roche (rigidité, densité) qui fixent $v$ : environ $6\ \mathrm{km \cdot s^{-1}}$ dans les granites et gneiss de la croûte, $8\ \mathrm{km \cdot s^{-1}}$ dans la péridotite du manteau. Une discontinuité est un saut de vitesse ; sa profondeur est ce qu'on en déduit, pas sa définition.

Première lecture : une distance, pas une position unique. On adopte ici une source et un récepteur en surface, un milieu homogène et des trajets directs. La profondeur de la source est négligée. À une station située à la distance $d$, les P arrivent à $t_P = d/v_P$, les S à $t_S = d/v_S$. Le retard $t_S - t_P = d\left(\dfrac{1}{v_S} - \dfrac{1}{v_P}\right)$ est proportionnel à $d$ : le retard permet d’estimer une distance à la source dans ce modèle. Une seule station laisse un cercle de positions possibles autour d’elle ; si la profondeur n’est pas négligée, distance hypocentrale et distance épicentrale doivent être distinguées. À $100$ km : $\dfrac{100}{3{,}5} - \dfrac{100}{6{,}0} = 28{,}6 - 16{,}7 = 11{,}9$ s. Inversement, un retard de $20$ s signifie $d = \dfrac{20}{1/3{,}5 - 1/6{,}0} = \dfrac{20}{0{,}119} = 168$ km. Dans ce modèle de surface, plusieurs stations bien disposées permettent de croiser les cercles ; les localisations réelles ajustent aussi la profondeur, le temps origine et les incertitudes.

Aux discontinuités : réflexion et réfraction. Pour le modèle de rayons retenu, une interface plane entre couches homogènes produit des branches réfléchies et réfractées. Pour une branche de même type, les angles obéissent à la relation de Snell :

Comme $v_2 > v_1$ en entrant dans le manteau, l'onde réfractée s'écarte de la normale ; avec $v_1 = 6{,}0$, $v_2 = 8{,}0$ et $i = 20°$ : $\sin r = \dfrac{8}{6}\sin 20° = 0{,}456$, $r = 27{,}1°$. Au-delà de l'angle critique $i_c$ tel que $\sin i_c = v_1/v_2 = 0{,}75$, soit $i_c = 48{,}6°$, cette branche transmise de même type n’est plus un rayon propagatif dans le modèle scalaire. On parle alors de réflexion totale pour cette branche ; une interface élastique réelle peut aussi convertir une partie de l’énergie entre P et S — ou, à l'incidence critique exactement, elle court le long de l'interface à la vitesse du milieu rapide et remonte : c'est l'onde réfractée critique (Pn), celle qui révèle le Moho.

Le Moho. En 1909, Mohorovičić remarque qu'au-delà d'une certaine distance, une onde P arrive avant l'onde directe : elle a fait un détour par un milieu plus rapide en profondeur. La discontinuité de Mohorovičić sépare la croûte ($v_P \approx 6$) du manteau ($v_P \approx 8$) : $30$ km en moyenne sous les continents (jusqu'à $70$ sous les chaînes), $7$ km sous les océans. C'est une limite pétrographique : granite et gabbro au-dessus, péridotite en dessous.

L'hodochrone. On porte, pour chaque station, le temps d'arrivée en fonction de la distance épicentrale : c'est une hodochrone, temps en fonction de la distance, pas un trajet dans le globe. Une onde directe dans un milieu homogène donne une droite de pente $1/v$ passant par l'origine ; une onde réfractée critique, une droite de pente $1/v_2$ plus faible mais décalée vers le haut. Là où les deux droites se croisent, la réfractée prend l'avance — c'est la distance de croisement, dont le bloc suivant tire la profondeur du Moho.

Mesurer le Moho par la réfléchie. Explosion en surface, station à la distance $d$, Moho horizontal à la profondeur $h$. L'onde réfléchie (PmP) descend, se réfléchit à mi-chemin et remonte : trajet $2\sqrt{h^{2} + (d/2)^{2}}$ — et c'est bien le trajet le plus court parmi tous les points de réflexion possibles (principe de Fermat, vérifié par calcul). Avec $h = 30$ km, $d = 100$ km, $v_P = 6{,}0\ \mathrm{km \cdot s^{-1}}$ : trajet $2\sqrt{900 + 2\,500} = 116{,}6$ km, temps $19{,}44$ s, contre $16{,}67$ s pour l'onde directe. À l'inverse, mesurer $19{,}44$ s à $100$ km donne $h = \sqrt{(v_P t/2)^{2} - (d/2)^{2}} = \sqrt{58{,}3^{2} - 50^{2}} = 30{,}0$ km. C'est la sismique réflexion, outil des géophysiciens et des pétroliers.

Mesurer le Moho par la réfractée. L'onde Pn descend sous l'incidence critique $i_c$, court le long du Moho à $v_2$, remonte sous le même angle. Son temps d'arrivée à la distance $x$ est

une branche affine, dans le domaine où le trajet critique est géométriquement possible, de pente $1/v_2$ et d’ordonnée à l’origine $\dfrac{2h\cos i_c}{v_1}$ (le « temps d'intercept », qui contient $h$). L'onde directe Pg donne $t_{Pg} = x/v_1$. Les deux se croisent à la distance de croisement

Le trajet critique à deux segments inclinés n’existe que pour $x \geq 2h\tan i_c$ ; en deçà, la droite n’est qu’un prolongement mathématique. Avec $h = 30$, $v_1 = 6{,}0$, $v_2 = 8{,}0$ : $\cos i_c = 0{,}661$, intercept $6{,}61$ s, et $x_c = 60\sqrt{14/2} = 158{,}7$ km. Au-delà, Pn arrive la première : à $300$ km, $44{,}1$ s contre $50{,}0$ s. Un réseau de stations donne $x_c$ et les deux pentes, donc $v_1$, $v_2$ et $h$ : c'est exactement ce qu'a fait Mohorovičić.

Croûte, lithosphère, asthénosphère. Le Moho est une limite de nature (croûte / manteau). La lithosphère est une limite de comportement mécanique : la couche rigide, croûte et manteau supérieur, épaisse d'environ $100$ km, qui repose sur l'asthénosphère, manteau plus chaud, ductile, où les ondes S ralentissent légèrement (zone de faible vitesse, vers $100$-$200$ km). Deux découpages, deux critères : le Moho est dans la lithosphère. Ductile ne veut pas dire liquide : les ondes S traversent tout le manteau.

Le noyau : Gutenberg. À $2\,900$ km, $v_P$ chute brutalement de $13{,}7$ à $8\ \mathrm{km \cdot s^{-1}}$ environ, et les ondes S disparaissent : le noyau externe est liquide (fer et nickel fondus). Conséquence pour les P : réfractées vers la normale à l'entrée d'un milieu plus lent, elles sont déviées vers le centre, et aucune onde P directe n'atteint la surface entre $103°$ et $143°$ de distance angulaire à l'épicentre : c'est la zone d'ombre des ondes P. Ce n'est pas une absence de séisme, ni un défaut d'enregistrement : c'est une réfraction. Les S, elles, manquent partout au-delà de $103°$ — la zone d'ombre des S couvre tout l'hémisphère opposé.

La graine : Lehmann. Dans la zone d'ombre arrivent pourtant de faibles ondes P, en 1936 inexplicables. Inge Lehmann montre qu'elles sont réfléchies sur une surface intérieure au noyau : à $5\,150$ km, le noyau interne ou graine, solide (la pression l'emporte sur la température), où les P réaccélèrent. Rayon $1\,220$ km.

Profils de vitesse et de densité. Le modèle de référence (PREM) donne, avec la profondeur : $v_P$ croissant dans le manteau de $8$ à $13{,}7\ \mathrm{km \cdot s^{-1}}$ (la pression rigidifie), chute à Gutenberg, remontée dans la graine ; $v_S$ croissante puis nulle entre $2\,900$ et $5\,150$ km ; densité de $2{,}7$-$3{,}3$ en surface à environ $13$ au centre. Le globe se lit ainsi : deux sauts majeurs (Moho, Gutenberg), un saut secondaire (Lehmann), et entre eux des couches où la vitesse croît continûment.

Ce que les ondes ne disent pas seules. Une vitesse ne donne pas une composition : c'est la pétrologie (péridotites remontées, météorites, expériences à haute pression) qui met des minéraux sur les couches. La sismologie donne la géométrie et l'état ; la chimie vient d'ailleurs.

Énoncé. Une explosion est déclenchée à la surface d'un continent. La croûte, d'épaisseur $h = 30$ km, propage les ondes P à $v_1 = 6{,}0\ \mathrm{km \cdot s^{-1}}$ et les ondes S à $v_S = 3{,}5\ \mathrm{km \cdot s^{-1}}$ ; le manteau sous-jacent propage les P à $v_2 = 8{,}0\ \mathrm{km \cdot s^{-1}}$ (valeurs adoptées, Moho horizontal). Une station est à $d = 100$ km.

1. Calculer le retard $t_S - t_P$ à cette station.
2. Calculer le temps d'arrivée de l'onde P directe et celui de l'onde P réfléchie sur le Moho.
3. Une onde P atteint le Moho sous l'incidence $i = 20°$ : calculer l'angle de réfraction dans le manteau, puis l'angle critique.
4. À partir de quelle distance l'onde réfractée critique arrive-t-elle avant l'onde directe ?

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1. Retard S − P. $t_P = \dfrac{100}{6{,}0} = 16{,}67$ s et $t_S = \dfrac{100}{3{,}5} = 28{,}57$ s :

$t_S - t_P = 11{,}9$ s.

Le retard croît de $0{,}119$ s par kilomètre : c’est la proportionnalité qui fournit une distance dans le modèle à profondeur négligée, pas l’azimut de l’épicentre depuis une seule station. (Les S traversent la croûte, solide ; elles ne traverseraient pas un noyau liquide.)

2. Directe et réfléchie. Directe : $t_{Pg} = 16{,}67$ s. Réfléchie : elle touche le Moho à mi-distance (Fermat : c'est le trajet de temps minimal), trajet $2\sqrt{h^{2} + (d/2)^{2}} = 2\sqrt{30^{2} + 50^{2}} = 2 \times 58{,}31 = 116{,}6$ km :

$t_{PmP} = \dfrac{116{,}6}{6{,}0} = 19{,}44$ s, soit $2{,}8$ s après la directe.

Contrôle inverse : $h = \sqrt{(6{,}0 \times 19{,}44/2)^{2} - 50^{2}} = \sqrt{3\,401 - 2\,500} = 30{,}0$ km. $\checkmark$ La réfléchie arrive toujours après la directe, d'autant plus tard que le Moho est profond.

3. Réfraction et angle critique. Snell-Descartes avec $v_2 > v_1$ :

L'onde s'écarte de la normale en entrant dans le milieu rapide. Angle critique : $\sin i_c = \dfrac{v_1}{v_2} = 0{,}75$, $i_c = 48{,}6°$. Pour $i = 50°$, $\sin r$ vaudrait $1{,}02$ : impossible pour la branche transmise P/P propagative de ce modèle ; cela n’exclut pas les conversions P/S d’une interface élastique réelle.

4. Croisement Pn / Pg. Pn descend sous $i_c$, court le long du Moho à $v_2$, remonte : $t_{Pn}(x) = \dfrac{x}{8{,}0} + \dfrac{2 \times 30 \times \cos 48{,}6°}{6{,}0} = \dfrac{x}{8{,}0} + 6{,}61$ s. Pg : $t_{Pg}(x) = \dfrac{x}{6{,}0}$. Égalité :

Formule directe : $x_c = 2h\sqrt{\dfrac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}} = 60\sqrt{7} = 158{,}7$ km. $\checkmark$ À $300$ km, Pn arrive à $44{,}1$ s et Pg à $50{,}0$ s : sur l'hodochrone, la droite de Pn, moins pentue, a pris le dessus.

Lecture. Dans le modèle choisi, le retard S−P fournit une distance si les vitesses sont connues. Une réfléchie identifiée, sa durée, la distance et la vitesse crustale permettent d’estimer la profondeur d’un Moho horizontal. Plusieurs stations et des phases correctement identifiées contraignent le modèle ; elles ne garantissent pas, sans ces hypothèses, une solution unique. L’hodochrone représente des temps, pas des trajets.

Figure (fig.geology.globe-structure-textures, figure programmatique de la leçon de lycée sur la structure du globe, réutilisée ici parce que chaque trait de cette coupe est une conclusion sismologique) : une coupe radiale et deux loupes.

• La coupe. Un quart de disque à l'échelle ($0{,}036$ px par km, rayon $6\,370$ km), avec une échelle des profondeurs le long du rayon : $0$ ; $30$ km, le Moho, dessiné épais et marqué « non à l'échelle » ; $2\,900$ km, Gutenberg ; $5\,150$ km, Lehmann ; $6\,370$ km, le centre. Quatre couches distinguées par des hachures et un état écrit : croûte, solide ; manteau, solide et ductile en partie ; noyau externe, liquide, avec le cartouche « les ondes S ne passent pas » ; noyau interne, solide. Pour cette leçon : lisez chaque frontière comme un saut de vitesse. Le Moho est le saut de $6$ à $8\ \mathrm{km \cdot s^{-1}}$ des ondes P, trouvé par le croisement Pn/Pg ; Gutenberg est la chute de $v_P$ et l'extinction des S — le cartouche est la preuve du liquide ; Lehmann est la remontée de $v_P$ trouvée par des ondes réfléchies dans la zone d'ombre. L'épaisseur exagérée du Moho dit honnêtement qu'à cette échelle, $30$ km sur $6\,370$ ne se verraient pas : la croûte est une pellicule.
• L'accolade lithosphère. Elle chevauche le Moho, « environ $100$ km, rigide », elle aussi exagérée. Pour cette leçon, c'est le piège n° 1 dessiné : deux découpages qui ne coïncident pas. Le Moho (nature de la roche) est dans la lithosphère (comportement mécanique), et la base de la lithosphère, l'asthénosphère, ne se voit pas comme un saut mais comme un léger ralentissement des ondes S.
• Les pastilles et les loupes. Masses volumiques $2{,}7$ / $2{,}9$ / $3{,}3\ \mathrm{g \cdot cm^{-3}}$ (croûte continentale, océanique, manteau) ; texture grenue du granite et du gabbro, exemples de cristallisation lente d’un magma ; les péridotites mantelliques peuvent être des résidus de fusion partielle et ne se déduisent pas de ce seul scénario ; texture microlithique du basalte, refroidi vite en surface. Pour cette leçon : la sismologie donne des vitesses, la pétrologie met des roches dessus — péridotite pour le manteau parce que les propriétés mesurées de cette roche sont compatibles avec les vitesses adoptées, et parce qu'on en trouve remontée dans les ophiolites. Les deux disciplines se répondent ; aucune ne suffit seule.

Ce que la figure ne montre pas, et qu'il faut se représenter : les ondes elles-mêmes — aucun rai sismique n'est tracé ; la zone d'ombre des P entre $103°$ et $143°$, qui est une conséquence de la réfraction à Gutenberg et qui exigerait un globe entier ; les hodochrones, courbes de temps qui ne sont pas des trajets ; les profils continus de vitesse et de densité entre les discontinuités ; et le manteau océanique, où le Moho est à $7$ km. La figure est la réponse ; cette leçon est la méthode qui l'a obtenue.