Aires : mesurer une surface en unités carrées

L’aire mesure l’étendue d’une surface. Pour la comparer à une unité, on compte combien de carrés unités la recouvrent, sans trou ni recouvrement. Un centimètre carré est l’aire d’un carré de côté 1 cm ; ce n’est pas une longueur de 1 cm.

Dans un rectangle de 5 cm sur 3 cm, on peut placer trois rangées de cinq carrés de 1 cm². Il y a donc 15 carrés et l’aire vaut 15 cm². Le contour de ce rectangle aurait une longueur différente, exprimée en cm.

Le nombre de rangées multiplié par le nombre de carrés d’une rangée explique la formule du rectangle. Pour un carré, les deux dimensions sont égales : on multiplie le côté par lui-même.

Pour une figure composée, découpe mentalement en rectangles sans chevauchement puis additionne leurs aires. On peut aussi partir d’un grand rectangle et retirer l’aire d’un morceau manquant. Les longueurs doivent être dans une même unité avant le produit. Changer d’unité d’aire exige de considérer deux dimensions.

On peut comparer des aires sans mesurer les côtés ni calculer une valeur. Par superposition, si une surface recouvre exactement l’autre, leurs aires sont égales ; si elle est entièrement contenue dans l’autre avec une région supplémentaire, son aire est plus petite. Par découpage et recollement, déplacer des morceaux conserve l’aire totale, à condition de ne perdre aucun morceau et de ne créer ni chevauchement ni trou dans la figure reconstruite.

Une plaque rectangulaire mesure 2 m de long et 5 dm de large. Convertis 5 dm en 0,5 m : son aire est 2 × 0,5 = 1 m². En décimètres, on obtient 20 × 5 = 100 dm² : c’est la même surface.

Un grand rectangle de 8 cm sur 5 cm dont on retire un carré de 2 cm de côté a une aire de 8 × 5 − 2 × 2 = 40 − 4 = 36 cm². On soustrait des aires, jamais une longueur à une aire.

Prends deux carrés en papier identiques et garde le premier intact. Nomme A, B, C, D les sommets du second dans l’ordre, avec A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite et D en haut à gauche. Coupe ce carré suivant la diagonale AC. Garde le triangle ABC immobile. Déplace le triangle ACD vers la droite, sans le tourner, pour amener A sur B et D sur C. Les deux triangles se rejoignent alors le long de BC et forment un parallélogramme. Son aire est égale à celle du carré intact : ce sont exactement les mêmes deux morceaux, seulement déplacés. Aucune formule d’aire du parallélogramme ni mesure n’est nécessaire.

La figure quadrille un rectangle de 5 unités sur 3. Les quinze cases ont la même aire, égale à une unité carrée. Trois rangées de cinq cases donnent 3 × 5 = 15 unités carrées.

Chaque case a quatre bords, mais on ne les additionne pas pour obtenir l’aire : on compte les surfaces. Les bords internes du quadrillage servent au comptage ; ils ne font pas partie du contour extérieur. Compare ce comptage au périmètre, qui vaudrait 2 × (5 + 3) = 16 unités de longueur.