Angles et droites parallèles

Deux droites coupées par une troisième, appelée sécante, font apparaître plusieurs angles. Pour raisonner, on décrit leur position avant de comparer leurs mesures. Des angles correspondants occupent la même position relative aux deux intersections. Des angles alternes-internes sont situés entre les deux droites, de part et d’autre de la sécante, avec des sommets différents.

Ces noms décrivent une configuration ; ils ne prouvent pas à eux seuls que les angles sont égaux. L’égalité dépend d’une propriété : lorsque les deux droites sont parallèles, les angles correspondants sont égaux et les angles alternes-internes sont égaux.

À une seule intersection, des angles opposés par le sommet sont égaux. Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs forment une droite sont supplémentaires : leur somme vaut 180 degrés. Ces faits permettent de passer d’une mesure connue aux autres.

On peut utiliser le parallélisme pour déduire une égalité d’angles, mais aussi une égalité convenablement située pour prouver le parallélisme. Si deux droites distinctes coupées par une même sécante déterminent une paire d’angles alternes-internes égaux, elles sont parallèles. La même caractérisation existe avec des angles correspondants.

Les conditions de position sont indispensables. Deux angles de même mesure dessinés au hasard dans une page ne prouvent rien sur deux droites choisies ailleurs. Il faut repérer la sécante et nommer les deux intersections. Une égalité donnée dans l’énoncé ou obtenue par calcul exact peut servir de preuve ; une lecture approximative au rapporteur sert d’indice, pas de démonstration.

Si deux angles alternes-internes ont des mesures exactes différentes, les droites ne sont pas parallèles. En effet, le parallélisme imposerait leur égalité, ce qui contredit les données.

Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle α mesure 58 degrés. L’angle β lui est correspondant : β mesure donc également 58 degrés. Un angle γ est adjacent à β et forme avec lui un angle plat. Leur somme vaut 180 degrés ; γ = 180 − 58 = 122 degrés.

Dans une autre figure, une paire d’angles alternes-internes mesure exactement 64 degrés et 64 degrés. La caractérisation permet de conclure que les droites sont parallèles. Si la seconde mesure était 66 degrés, elles ne le seraient pas.

La rédaction suit ainsi trois étapes : annoncer les données, nommer la propriété avec ses conditions, puis donner la conclusion. La phrase « cela se voit sur le dessin » ne remplace pas la propriété, même si la figure paraît parfaitement régulière.

La figure utilise deux horizontales et une sécante oblique. Les deux angles marqués α sont alternes-internes : ils regardent la bande entre les horizontales et se trouvent de côtés opposés de la sécante. Les petits arcs indiquent quels secteurs sont concernés.

Sur papier, prolonge les trois droites et colorie une paire correspondante dans une autre couleur. Déplace ensuite, dans un logiciel de géométrie, l’une des droites sans garder le parallélisme. Les positions correspondant aux noms restent repérables, mais l’égalité des mesures disparaît en général. Cette expérience aide à distinguer une définition de position d’une propriété conditionnelle.