Anneaux et éléments inversibles

Un anneau possède une addition de groupe abélien et une multiplication associative distributive par rapport à l'addition. Nous considérons des anneaux unitaires. Un élément est inversible s'il admet un inverse multiplicatif ; un élément non nul n'est pas nécessairement inversible. Un corps commutatif exige que tous les éléments non nuls le soient.

Dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, les classes se multiplient modulo $n$. La classe de $k$ est inversible exactement lorsque $\gcd(k,n)=1$, par l'identité de Bézout. Si le module n'est pas premier, des diviseurs de zéro peuvent apparaître : deux classes non nulles ont alors un produit nul.

Modulo 12, les unités sont les classes de $1,5,7,11$, car ce sont les représentants entre 0 et 11 premiers avec 12. Il y en a quatre. On vérifie $5\times5=25\equiv1$, $7\times7=49\equiv1$ et $11\times11=121\equiv1$. En revanche $3\times4\equiv0$ avec deux facteurs non nuls : l'anneau n'est pas un corps.

Le tableau liste les quatre unités modulo 12, rappelle l'existence de leurs inverses et donne le produit 3×4 congru à zéro. Il distingue ainsi deux propriétés : être inversible et pouvoir annuler un facteur non nul. Il n'énumère pas toutes les autres classes ; examinez-les séparément pour compléter le classement.