Applications linéaires : noyau, image et rang

Une application $f:E\to F$ est linéaire si elle conserve les combinaisons linéaires : $f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)$. Son noyau contient les vecteurs envoyés sur zéro ; son image rassemble les valeurs atteintes. Ce sont des sous-espaces vectoriels. La matrice de $f$ dépend des bases choisies, tandis que son rang, dimension de l'image, est intrinsèque.

En dimension finie, le théorème du rang donne $\dim E=\dim\ker f+\operatorname{rang}f$. L'injectivité équivaut à un noyau réduit à zéro ; la surjectivité équivaut à une image égale à $F$. Une application entre espaces de même dimension est injective si et seulement si elle est surjective, mais cette équivalence n'est pas générale entre dimensions différentes.

Soit $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$, $f(x,y,z)=(x+y,y+z)$. Son noyau est défini par $x=-y$ et $z=-y$, soit la droite engendrée par $(-1,1,-1)$. Il a dimension 1. Le rang vaut $3-1=2$ : l'image est tout $\mathbb R^2$. On peut aussi exhiber $f(1,0,0)=(1,0)$ et $f(0,0,1)=(0,1)$, qui engendrent l'arrivée. La surjectivité n'empêche donc pas plusieurs antécédents.

Le tableau sépare espace de départ, noyau et image. Les dimensions s'additionnent dans le départ, pas dans l'arrivée. Les deux images de vecteurs de base montrent directement pourquoi les deux coordonnées de l'arrivée sont accessibles.