Assemblages de cubes : vues et étages

Un assemblage est formé de cubes identiques posés sur un quadrillage. Une colonne peut contenir plusieurs cubes superposés. Dans une vue du dessus, cette colonne occupe une seule case, quelle que soit sa hauteur : la vue seule ne permet donc pas toujours de connaître le nombre total de cubes.

Une carte de hauteurs ajoute dans chaque case le nombre de cubes de sa colonne. On suppose ici que les colonnes sont pleines depuis le sol, sans cube suspendu ni trou caché. Une case marquée zéro est vide.

Pour compter avec une carte de hauteurs, additionne les nombres de toutes les cases. On peut vérifier par étages : le premier étage contient toutes les colonnes de hauteur au moins un ; le deuxième, celles de hauteur au moins deux ; etc.

Pour une vue de face suivant des rangées alignées, une colonne plus haute peut masquer une colonne plus basse placée derrière. La silhouette donne alors la hauteur maximale dans cette direction, et non la somme. Il faut toujours préciser de quel côté on observe.

Pour passer à quatre vues, fixe l’avant du solide. Avec la carte de hauteurs rangée avant [1 ; 2], rangée arrière [3 ; 1], la vue de face a les hauteurs [3 ; 2] de gauche à droite ; vue depuis l’arrière, le gauche-droite s’inverse et donne [2 ; 3]. Pour les vues de côté, annonce l’ordre « avant vers arrière » : les hauteurs sont [2 ; 3]. Dans un dessin vu depuis la gauche, l’ordre gauche-droite correspond à arrière puis avant, donc [3 ; 2]. Les vues de dessus et les silhouettes ne comptent pas les cubes : le total de cette carte est sept.

Reconnaître un solide demande d’examiner ses faces, ses arêtes et ses sommets, y compris cachés. Un cube a six faces carrées égales. Un pavé droit a six faces rectangulaires ; le cube en est un cas particulier. Un prisme droit a deux bases polygonales identiques et parallèles, avec des faces latérales rectangulaires : cube et pavé droit sont donc aussi des prismes droits.

Une pyramide possède une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent à un sommet hors de la base. Un cône a une base en forme de disque et une surface courbe rejoignant une pointe. Un cylindre possède deux bases en forme de disques parallèles identiques et une surface latérale courbe. Une boule est l’ensemble des points de l’espace à distance au plus égale à un rayon donné d’un centre ; sa frontière est une sphère. Elle n’a pas de face plane. Une base circulaire ne fait donc pas d’un cylindre un prisme droit.

Une carte possède deux rangées. La première donne les hauteurs 1, 2, 0 ; la seconde, 3, 1, 2. Le total est 1 + 2 + 0 + 3 + 1 + 2 = 9 cubes.

Vérifions par étages : cinq colonnes sont occupées au premier étage, trois atteignent le deuxième et une atteint le troisième. On retrouve 5 + 3 + 1 = 9.

La vue du dessus ne montrerait que cinq cases occupées. Elle ne suffirait pas, sans les hauteurs, à distinguer cet assemblage d’un autre plus bas ou plus haut.

Représente les sept cubes de la carte [1 ; 2] devant et [3 ; 1] derrière. Dessine la vue du dessus : quatre cases occupées. Trace de face deux colonnes de trois et deux cases. Tourne la construction pour confronter tes quatre vues au solide. Pour le représenter en perspective cavalière, garde les verticales parallèles et dessine les arêtes de profondeur parallèles entre elles, avec une même réduction choisie ; indique les arêtes cachées si nécessaire.

Pour le patron d’un cube : trace quatre carrés alignés, puis ajoute un carré au-dessus du deuxième et un au-dessous. Découpe en conservant les jonctions et plie : la bande donne quatre faces latérales, les deux autres ferment le dessus et le dessous. Un rectangle plein de deux rangées de trois carrés ne se replie pas en cube sans recouvrement.

Une boîte de dimensions 2 cm, 3 cm et 5 cm est un pavé droit non cubique. Une boîte de dimensions 3 cm, 3 cm et 3 cm est un cube, donc aussi un pavé et un prisme droit. Une pyramide à base carrée a cinq faces : la base et quatre triangles. Un prisme droit à base triangulaire a cinq faces aussi, mais elles se répartissent autrement : deux triangles et trois rectangles. Compter les faces ne suffit pas à identifier la famille.

La figure montre la carte à deux rangées et trois colonnes de l’exemple. Les nombres 1, 2, 0 puis 3, 1, 2 désignent des hauteurs de colonnes pleines. Le zéro est volontairement laissé dans sa case : il signale une absence de cube.

Sous cette carte, le comptage par étages indique cinq cubes au premier, trois au deuxième et un au troisième. Ces indications décrivent le même assemblage sous deux formes ; elles ne sont pas deux assemblages à additionner.

Le panneau inférieur présente les sept familles à reconnaître : cube, pavé droit non cubique, prisme droit à base triangulaire, pyramide à base carrée, cône, cylindre et boule. Les pointillés suggèrent des arêtes ou portions cachées. Les projections raccourcissent certaines longueurs et transforment visuellement les cercles en ellipses : le dessin ne remplace pas les propriétés du solide. Sur la boule, la courbe tracée est un repère visuel sur la surface, pas une arête.