Bornes supérieures et complétude de R

Un majorant de $A\subset\mathbb R$ est un réel supérieur ou égal à tous ses éléments. La borne supérieure est le plus petit majorant. Le maximum, s'il existe, est un élément de $A$ supérieur à tous les autres. La complétude de $\mathbb R$ assure qu'une partie non vide et majorée possède une borne supérieure réelle ; cette propriété n'est pas vraie pour les rationnels avec leurs seules bornes rationnelles.

Pour prouver $s=\sup A$, établissez que $s$ majore $A$, puis que tout nombre strictement inférieur à $s$ cesse d'être majorant. La seconde propriété s'écrit : pour tout $\varepsilon>0$, il existe $a\in A$ tel que $s-\varepsilon<a\le s$. Une suite d'éléments de $A$ tendant vers le majorant donne souvent cette approximation.

Soit $A=\{2-1/n:n\ge1\}$. Tous les éléments sont inférieurs à 2. Si $\varepsilon>0$, choisissez un entier $n>1/\varepsilon$ ; alors $2-1/n>2-\varepsilon$. Donc 2 est le plus petit majorant. Aucun élément ne vaut 2 : il n'y a pas de maximum. Le minimum existe et vaut 1, atteint pour $n=1$.

Le tableau sépare les premiers éléments et la limite. Les nombres s'approchent de 2 sans l'atteindre ; le vide à la borne n'empêche pas celle-ci de majorer l'ensemble. La preuve utilise tous les epsilon, pas seulement quelques termes affichés.