Différentielle, gradient et directions

Pour une fonction $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$, être différentiable en $a$ signifie admettre une approximation linéaire : $f(a+h)=f(a)+df_a(h)+o(\|h\|)$. La différentielle $df_a$ est une forme linéaire. Dans le produit scalaire euclidien usuel, elle s'écrit $df_a(h)=\nabla f(a)\cdot h$, où le gradient rassemble les dérivées partielles.

L'existence des seules dérivées partielles ne suffit pas à la différentiabilité. Des dérivées partielles continues dans un voisinage sont une condition suffisante. La dérivée dans une direction unitaire $v$ est $\nabla f(a)\cdot v$ lorsque $f$ est différentiable. Le gradient indique la direction de plus forte augmentation locale si ce vecteur est non nul ; ce résultat dépend du produit scalaire et de la normalisation de la direction.

Soit $f(x,y)=x^2y+3y^2$. Le gradient est $(2xy,x^2+6y)$. En $(1,2)$, il vaut $(4,13)$. La direction $v=(3/5,4/5)$ est unitaire, donc la dérivée directionnelle vaut $4\times3/5+13\times4/5=64/5$. Pour $h=(0{,}01,0)$, la variation linéaire prédite est $0{,}04$ ; le calcul exact donne $f(1{,}01,2)-f(1,2)=0{,}0402$. L'écart $0{,}0002$ est d'ordre deux ici.

Le tableau distingue vecteur gradient, direction choisie et produit scalaire. La comparaison entre approximation et variation exacte rend visible le reste. Elle illustre une propriété démontrée par différentiabilité, sans la prouver par un seul petit déplacement.