Cercle trigonométrique et radians : le cosinus d'un réel

Dans les leçons précédentes, vous avez appris que le cosinus d'un angle aigu est un rapport de deux longueurs dans un triangle rectangle. C'était vrai, mais étroit : un angle de $150°$ n'est dans aucun triangle rectangle, un angle de $-30°$ ou de $400°$ non plus. Cette leçon donne au cosinus et au sinus une définition qui marche pour tout nombre réel, et la construction qui le permet est un enroulement.

Le cercle trigonométrique. Dans un repère orthonormé $(O\ ;\ I\ ;\ J)$, c'est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, parcouru dans le sens direct — le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le point $I(1\ ;\ 0)$ en est l'origine. Ce choix du rayon $1$ n'est pas anodin : il fait coïncider les longueurs d'arcs et les mesures d'angles, comme on va le voir.

L'enroulement. Tracez la droite tangente au cercle en $I$, graduée comme un axe des réels, avec $0$ en $I$ et les réels positifs vers le haut. Enroulez-la sur le cercle : les réels positifs s'enroulent dans le sens direct, les négatifs dans le sens indirect. Chaque réel $x$ tombe alors sur un point $M$ du cercle, et la longueur de l'arc parcouru de $I$ à $M$ est exactement $|x|$ — la droite ne s'étire pas en s'enroulant. On dit que $M$ est le point associé au réel $x$.

Le périmètre du cercle vaut $2\pi \times 1 = 2\pi$. Donc le réel $2\pi$ retombe sur $I$ après un tour complet ; $\pi$ tombe sur le point diamétralement opposé $(-1\ ;\ 0)$, à mi-tour ; $\dfrac{\pi}{2}$ tombe sur $J(0\ ;\ 1)$, au quart de tour. Et deux réels qui diffèrent d'un nombre entier de tours — de $2\pi$, $4\pi$, $-2\pi$… — sont associés au même point : le cercle a une circonférence finie, mais une infinité de points. Chaque point reçoit une infinité de réels, par périodicité de l’enroulement.

Le radian. Cette construction fournit une unité d'angle naturelle. Un angle de sommet $O$ mesure un radian lorsqu'il intercepte, sur le cercle de rayon $1$, un arc de longueur $1$. Autrement dit : sur le cercle trigonométrique, pour une rotation positive, la mesure en radians égale la longueur parcourue sur ce cercle. Pour une rotation négative, la mesure orientée est négative et la longueur parcourue est sa valeur absolue. Un tour complet mesure $2\pi$ rad, un angle plat $\pi$ rad, un angle droit $\dfrac{\pi}{2}$ rad. Comme $180°$ et $\pi$ rad désignent le même angle plat, les deux unités sont proportionnelles :

Ainsi $60° = 60 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}$ rad, et $\dfrac{\pi}{4}$ rad $= \dfrac{180°}{4} = 45°$. Les angles remarquables de ce parcours s’écrivent souvent comme une fraction de $\pi$ ; un réel quelconque, comme 1 rad, n’est pas nécessairement un multiple rationnel de $\pi$. Par exemple, la calculatrice donnerait $1{,}047…$ pour $\dfrac{\pi}{3}$, mais c'est la fraction qui est exacte, et c'est elle qu'on manipule.

Cosinus et sinus d'un réel. Soit $M$ le point associé au réel $x$. On définit

Voilà la définition qui marche pour tout réel : $M$ existe toujours, il a toujours deux coordonnées. Comme $M$ est sur un cercle de rayon $1$ centré en $O$, ses coordonnées vérifient $OM^2 = 1$, c'est-à-dire

Conséquence immédiate : $\cos x$ et $\sin x$ sont toujours compris entre $-1$ et $1$.

Le lien avec la troisième. Pour $x$ dans $\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$, le point $M$ est dans le premier quart du cercle. Appelons $H$ son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses : le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, d'hypoténuse $OM = 1$, et l'angle en $O$ mesure $x$ radians. Le cosinus du collège donne $\cos x = \dfrac{OH}{OM} = OH$ — l'abscisse de $M$. Les deux définitions coïncident là où elles existent toutes les deux : la nouvelle prolonge l'ancienne, elle ne la contredit pas.

Les valeurs remarquables — pourquoi elles sont exactes. Pour trois réels du premier quart, la géométrie donne le cosinus et le sinus sans calculatrice.

Pour $x = \dfrac{\pi}{4}$ ($45°$), le triangle $OHM$ est rectangle isocèle : $OH = HM$, donc $\cos x = \sin x$. Avec $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, il vient $2\cos^2 x = 1$, soit $\cos x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (positif dans le premier quart). Donc $\cos \dfrac{\pi}{4} = \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Pour $x = \dfrac{\pi}{3}$ ($60°$), le triangle $OIM$ a deux côtés de longueur $1$ ($OI$ et $OM$) et un angle de $60°$ entre eux : il est équilatéral. Sa hauteur issue de $M$ tombe au milieu de $[OI]$, donc $OH = \dfrac{1}{2}$ : $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, puis $\sin \dfrac{\pi}{3} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Pour $x = \dfrac{\pi}{6}$ ($30°$), c'est le même triangle équilatéral regardé depuis l'autre angle aigu : $\cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$. Les valeurs de $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ s'échangent — parce que $\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$, angles complémentaires.

Un moyen de contrôle : sur la ligne des cosinus, les valeurs décroissent de $1$ à $0$ quand $x$ va de $0$ à $\dfrac{\pi}{2}$ (le point $M$ s'éloigne de l'axe des abscisses vers la gauche) ; sur la ligne des sinus, elles croissent de $0$ à $1$. Et $\dfrac{1}{2} < \dfrac{\sqrt{2}}{2} < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ puisque $1 < 2 < 3$.

Les angles associés — des symétries, pas des formules. Le cercle est symétrique ; ces symétries transportent le point associé à $x$ sur d'autres points dont on lit les coordonnées.

• Le point associé à $-x$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse, ordonnée opposée. Donc $\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$.
• Le point associé à $\pi - x$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées : abscisse opposée, même ordonnée. Donc $\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$.
• Le point associé à $\pi + x$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'origine $O$ : les deux coordonnées changent de signe. Donc $\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$.
• Le point associé à $\dfrac{\pi}{2} - x$ est le symétrique de $M$ par rapport à la première bissectrice : les coordonnées s'échangent. Donc $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$.

Grâce à elles, la table du premier quart suffit pour tout le cercle : $\cos \dfrac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Le quadrant fixe le signe, la symétrie fixe la valeur absolue.

La périodicité. Ajouter $2\pi$ à un réel, c'est faire un tour complet de plus : le point associé ne change pas. Pour tout entier $k$,

Pour lire les coordonnées du point associé à un grand réel, on lui retire des tours entiers jusqu'à tomber dans $[0\ ;\ 2\pi[$ (ou dans $]-\pi\ ;\ \pi]$, selon la commodité).

Ce qui dépasse cette leçon. Le programme de première prolonge ces définitions en deux fonctions $x \mapsto \cos x$ et $x \mapsto \sin x$, définies sur $\mathbb{R}$, dont les courbes ondulent entre $-1$ et $1$ avec une période $2\pi$ : la parité de cosinus et l'imparité de sinus sont exactement les relations pour $-x$ ci-dessus, lues sur la courbe. Leurs dérivées et les résolutions générales sont développées dans d’autres leçons ; on utilise ici le cercle pour justifier des lectures particulières.

Énoncé. Un repère orthonormé est gradué en mètres. Un point part de $I(0{,}4;0)$ sur un cercle de centre $O$ et de rayon 0,4 m. Il effectue une rotation de $-11\pi/3$ radians dans le sens horaire, sans retour en arrière. Déterminez sa position finale exacte et la longueur de son trajet circulaire.

Réduire pour placer, pas pour mesurer tout le trajet.

Le point final a donc la direction de 60°, dans le premier quadrant. Sur le cercle unité, les coordonnées sont $(1/2;\sqrt3/2)$. Sur le cercle de rayon 0,4 m :

Conserver la rotation totale pour la distance. Le chemin parcouru vaut rayon multiplié par la valeur absolue de la mesure en radians :

Le signe négatif indique le sens de rotation ; il ne rend pas une longueur négative. La réduction modulo $2\pi$ conserve la position, mais efface les tours nécessaires au calcul du trajet.

Distinguer le déplacement direct. $IM^2=(-0{,}2)^2+(0{,}2\sqrt3)^2=0{,}16$, donc $IM=0{,}4$ m. Cette corde est bien plus courte que le trajet de 4,61 m. Position finale, rotation totale et distance parcourue sont trois informations différentes.

Figure (SVG programmatique existant) : trois panneaux qui suivent l'ordre de la leçon — l'enroulement, la lecture des coordonnées, les angles associés.

• Panneau 1 — l'enroulement. Le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé, avec $O$, $I(1\ ;\ 0)$ et $J(0\ ;\ 1)$ nommés, et une flèche courbe près de $I$ indiquant le sens direct. À droite du cercle, la droite tangente en $I$, verticale, graduée de $-2$ à $7$ avec les graduations $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\dfrac{3\pi}{2}$, $2\pi$ mises en évidence. Des arcs de rappel en pointillés relient la graduation $\dfrac{\pi}{2}$ au point $J$, la graduation $\pi$ au point $(-1\ ;\ 0)$, la graduation $2\pi$ au point $I$ lui-même — avec, pour ce dernier, la mention « un tour complet : retour en $I$ ». Un arc épais va de $I$ au point associé à $1$ rad, coté « longueur $1$ = $1$ rad ».
• Panneau 2 — cosinus et sinus. Le même cercle, avec le point $M$ associé à $\dfrac{5\pi}{6}$ dans le deuxième quadrant. Les deux projections en pointillés : sur l'axe des abscisses au point coté $\cos \dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, sur l'axe des ordonnées au point coté $\sin \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$. L'arc de $I$ à $M$ dans le sens direct, coté $\dfrac{5\pi}{6}$. Les quatre quadrants sont numérotés en chiffres romains dans les coins, avec le couple de signes attendu (par exemple « II : $\cos < 0$, $\sin > 0$ »). En bas, le premier quart agrandi avec les points de $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$ et leurs coordonnées exactes, le triangle $OHM$ tracé pour $\dfrac{\pi}{3}$ avec la cote $OH = \dfrac{1}{2}$.
• Panneau 3 — les angles associés. Le cercle avec le point $M$ associé à $x = \dfrac{\pi}{6}$ et ses trois symétriques : $M'$ associé à $-x$ (symétrie d'axe horizontal, flèche double verticale entre $M$ et $M'$), $M''$ associé à $\pi - x$ (symétrie d'axe vertical, flèche double horizontale), $M'''$ associé à $\pi + x$ (symétrie centrale, segment en pointillés passant par $O$). Chaque point porte son couple de coordonnées avec les signes en évidence : $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ \dfrac{1}{2}\right)$, $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ -\dfrac{1}{2}\right)$, $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ \dfrac{1}{2}\right)$, $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ -\dfrac{1}{2}\right)$.

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 est la définition : le réel devient un point, et la longueur d'arc est la mesure en radians — le rayon $1$ rend cette identité possible. Le panneau 2 montre que cosinus et sinus ne sont rien d'autre que deux coordonnées, d'où les signes par quadrant et la borne $[-1\ ;\ 1]$ ; l'agrandissement du premier quart contient toute la table des valeurs, et le triangle $OHM$ relie la définition nouvelle à celle du collège. Le panneau 3 permet de retrouver les formules des angles associés : chaque symétrie change le signe d'une coordonnée, ou des deux, ou d'aucune — il suffit de voir laquelle.

La figure en détail : à gauche, un cercle de rayon un avec une droite verticale collée à sa droite ; la droite est graduée et des arcs en pointillés montrent que ses graduations s'enroulent sur le cercle, la graduation deux pi revenant au point de départ. Au centre, le même cercle avec un point placé en haut à gauche, dont on projette l'abscisse (négative, environ moins zéro virgule quatre-vingt-sept) et l'ordonnée (un demi) sur les axes ; les quatre quarts du cercle portent chacun le signe de l'abscisse et de l'ordonnée. À droite, un point du premier quart et ses trois images par la symétrie d'axe horizontal, la symétrie d'axe vertical et la symétrie de centre, chacune avec ses coordonnées dont seuls les signes diffèrent.