Compacité, connexité et images continues

Un espace compact possède la propriété de recouvrement : de tout recouvrement ouvert, on peut extraire un sous-recouvrement fini. Dans un espace métrique, la compacité équivaut aussi à l'extraction d'une sous-suite convergente pour toute suite. Dans $\mathbb R^n$ muni d'une norme usuelle, les compacts sont exactement les fermés bornés ; cette caractérisation ne s'étend pas à tous les espaces normés.

Une application continue envoie un compact sur un compact. Une fonction réelle continue sur un compact non vide atteint donc ses extrema. La connexité signifie qu'on ne peut pas séparer l'espace en deux ouverts relatifs non vides ; son image continue est connexe. Dans la droite réelle, les connexes sont les intervalles. Ces deux invariances se combinent pour déterminer des images.

Pour $f(x)=x^2$ sur $K=[-1,2]$, le domaine est compact et connexe. L'image est donc un compact connexe de la droite, c'est-à-dire un segment fermé. Le minimum vaut 0, atteint en 0, et le maximum 4, atteint en 2 ; ainsi $f(K)=[0,4]$. Le simple calcul des valeurs aux bornes aurait oublié le minimum intérieur.

Le tableau sépare les propriétés du domaine et leurs conséquences sur l'image. La compacité impose bornes atteintes et fermeture ; la connexité remplit les valeurs intermédiaires. Aucune des deux propriétés seule ne donne toutes les conclusions.