Construire un triangle et son cercle circonscrit

Un triangle non aplati possède trois sommets et trois angles dont la somme vaut 180°. Si deux angles sont connus, le troisième se calcule par différence. Les positions du triangle sur la feuille n’y changent rien.

Dans un triangle isocèle en A, AB = AC : A est le sommet principal, et les angles B et C sont égaux. Dans un triangle équilatéral, les trois côtés sont égaux et chaque angle mesure 60°. Dans un triangle rectangle, un angle mesure 90° ; les deux autres ont donc une somme de 90°.

Pour construire un triangle dont les trois côtés sont donnés, commence par un segment AB. Trace un arc centré en A de rayon AC et un arc centré en B de rayon BC. Leur intersection fournit C. Il y a souvent deux positions symétriques possibles. Si les arcs ne se coupent pas, les longueurs ne permettent pas la construction. L’égalité entre le plus grand côté et la somme des deux autres donne une figure alignée, pas un triangle non aplati.

Les médiatrices des trois côtés d’un triangle se rencontrent en un point O. Il est équidistant de A, B et C : le cercle de centre O passant par A passe aussi par B et C. C’est le cercle circonscrit, qui passe par les sommets, pas par les milieux.

Deux autres programmes de construction sont utiles. Si deux côtés et l’angle compris sont donnés, trace un côté, construis l’angle au sommet commun, puis reporte la deuxième longueur sur la nouvelle demi-droite. Si un côté et ses deux angles adjacents sont donnés, trace le côté puis une demi-droite à chaque extrémité, du même côté du segment ; leur intersection donne le troisième sommet. Vérifie que la somme des angles donnés est inférieure à 180°.

ABC est isocèle en A et l’angle A mesure 46°. Les deux autres angles ont une somme de 180 − 46 = 134°. Ils sont égaux : chacun mesure 67°. On contrôle 46 + 67 + 67 = 180.

Pour son cercle circonscrit, construis les médiatrices de AB et AC. Leur intersection O vérifie OA = OB et OA = OC ; par conséquent OA = OB = OC. Trace le cercle de rayon OA. Cette justification utilise les propriétés des médiatrices et non une mesure approximative des trois rayons.

O peut être à l’intérieur, sur un côté ou à l’extérieur du triangle, selon sa forme.

Construction A : AB = 5 cm, AC = 4 cm et angle BAC = 60°. Trace AB ; en A construis un angle de 60° dont un côté est AB ; sur le nouveau côté place C à 4 cm de A ; relie B à C. Construction B : DE = 6 cm, angle D = 50° et angle E = 70°. Trace DE ; depuis D et E construis les deux angles du même côté de DE ; leur intersection est F. L’angle F vaut 180 − 50 − 70 = 60°. Dans chaque cas, commence par un croquis codé à main levée.

La figure montre un triangle rectangle inscrit dans un cercle. A et B sont les extrémités d’un diamètre ; C est un autre point du cercle. O, milieu de AB, est le centre : OA, OB et OC sont égaux.

Le petit carré en C code l’angle droit, et les trois segments reliant O aux sommets montrent les rayons. Cette configuration illustre qu’un centre de cercle circonscrit peut se trouver sur un côté du triangle. Elle ne dit pas que tous les triangles sont rectangles ni que leur centre est toujours le milieu d’un côté.