Continuité sur un segment : existence et unicité

La continuité en $a$ signifie que $f(x)$ tend vers $f(a)$ lorsque $x$ tend vers $a$ dans le domaine. Sur un segment $[a,b]$, elle concerne aussi les limites unilatérales aux extrémités. Une fonction continue sur ce segment atteint un minimum et un maximum. Elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre deux de ses valeurs : c'est le théorème des valeurs intermédiaires, ou TVI.

Le TVI donne une existence, jamais une unicité à lui seul. Pour résoudre $f(x)=k$, vérifiez la continuité et encadrez $k$ entre deux valeurs de $f$. Une stricte monotonie sur l'intervalle donne ensuite au plus une solution. Le théorème des bornes atteintes exige un domaine compact ; sur un intervalle ouvert, une fonction continue peut être non bornée ou ne pas atteindre ses bornes.

Considérez $f(x)=x^3+x-1$ sur $[0,1]$. C'est un polynôme, donc une fonction continue. Les valeurs $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ encadrent zéro : il existe une racine. Comme $f'(x)=3x^2+1>0$, la fonction est strictement croissante : la racine est unique. Pour la localiser, $f(0{,}6)=-0{,}184$ et $f(0{,}7)=0{,}043$ ; elle est dans $]0{,}6;0{,}7[$. Le calcul n'a pas établi une valeur exacte.

Le tableau réunit les deux signes puis la monotonie. Lisez séparément les rôles : les signes et la continuité assurent le passage par zéro ; la croissance empêche un deuxième passage. Une courbe esquissée suggérerait ce résultat, mais ne remplacerait pas ces deux justifications.