Convergence d'une suite : la définition quantifiée

Dans les leçons précédentes, vous écriviez $\lim u_n = \ell$ et vous disiez : « les termes se rapprochent de $\ell$ ». Cette phrase suffisait pour calculer, elle ne suffit plus pour démontrer. Que veut dire « se rapprocher » ? Plus près que quoi ? À partir de quand ? Toute l'analyse du supérieur commence par répondre à ces trois questions d'un seul coup, avec des inégalités et deux quantificateurs.

Définition. La suite $(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ lorsque

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ |u_n - \ell| < \varepsilon.$$

On note alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$, et on dit que $(u_n)$ est convergente. Une suite qui ne converge vers aucun réel est divergente.

Lire la formule dans l'ordre, c'est la comprendre. Elle se lit comme un jeu à deux joueurs, et l'ordre des quantificateurs est l'ordre des coups.

• $\forall \varepsilon > 0$ : votre interlocuteur choisit une exigence de précision, aussi sévère qu'il le veut — $10^{-3}$, $10^{-15}$, ce qu'il veut, pourvu que ce soit strictement positif.
• $\exists N \in \mathbb{N}$ : vous répondez par un rang, et vous avez le droit de le choisir après avoir vu $\varepsilon$. C'est le point décisif : $N$ peut dépendre de $\varepsilon$. Le plus petit rang admissible ne diminue pas lorsque l’exigence devient plus stricte ; un choix quelconque de rangs n’a pas forcément cette monotonie. Une suite stationnaire peut garder le même rang pour toutes les précisions. On écrit souvent $N_\varepsilon$ pour s'en souvenir.
• $\forall n \ge N$ : à partir de ce rang, l'inégalité doit tenir pour tous les termes suivants, sans exception ni rechute. Un seul terme qui ressort de la bande, si loin soit-il, et ce rang proposé ne convient pas.
• $|u_n - \ell| < \varepsilon$ : l'écart entre le terme et la limite, mesuré par une valeur absolue, reste sous l'exigence. De façon équivalente, $u_n$ appartient à l'intervalle $\left]\ell - \varepsilon\ ;\ \ell + \varepsilon\right[$ — la bande de demi-largeur $\varepsilon$ autour de $\ell$.

Une seule phrase, quatre pièges d'écriture. Échanger les deux premiers quantificateurs donne « $\exists N, \forall \varepsilon > 0, \forall n \ge N, |u_n - \ell| < \varepsilon$ » : cette proposition dit que tous les termes de rang $\ge N$ sont à une distance de $\ell$ plus petite que tout réel strictement positif, donc qu'ils sont égaux à $\ell$. Elle décrit précisément une suite égale à $\ell$ à partir d’un certain rang, cas particulier de suite convergente. Remplacer seulement le dernier quantificateur par $\exists n\geqslant N$, en gardant $\exists N$, ne définit pas une valeur d’adhérence : un seul terme égal à $\ell$ pourrait suffire. Pour exprimer des retours arbitrairement tardifs, il faut $\forall\varepsilon>0,\forall N,\exists n\geqslant N:|u_n-\ell|<\varepsilon$. Par exemple $(-1)^n$ revient à 1 arbitrairement tard sans converger. Écrire $\le \varepsilon$ au lieu de $<$ ne change rien (si l'écart est $< \varepsilon/2$ il est $\le \varepsilon$, et réciproquement en changeant d'$\varepsilon$) : les deux versions définissent la même notion, et vous pouvez utiliser la version la plus pratique. Enfin, exiger le plus petit $N$ possible n'est jamais demandé par la définition : n'importe quel rang qui marche démontre la convergence.

Ce que cela change concrètement. Pour prouver qu'une suite converge vers $\ell$, on ne raisonne plus par analogie : on part d'un $\varepsilon > 0$ quelconque, on majore $|u_n - \ell|$, on résout l'inégalité en $n$, et on exhibe un rang. La démonstration a désormais une forme fixe, et c'est cette forme que la leçon apprend à écrire.

Une définition ne vaut que par les théorèmes qu'elle donne. Voici plusieurs conséquences : certaines se démontrent directement par cette définition ; la limite monotone utilise aussi la propriété de la borne supérieure de $\mathbb R$.

L'unicité de la limite. Une suite convergente a une seule limite. Supposons qu'elle converge à la fois vers $\ell$ et vers $\ell'$ avec $\ell \neq \ell'$, et prenons $\varepsilon = \dfrac{|\ell - \ell'|}{2}$, qui est strictement positif. La définition fournit un rang $N_1$ à partir duquel $|u_n - \ell| < \varepsilon$, et un rang $N_2$ à partir duquel $|u_n - \ell'| < \varepsilon$. Pour $n \ge \max(N_1, N_2)$, l'inégalité triangulaire donne

c'est-à-dire $|\ell - \ell'| < |\ell - \ell'|$ : absurde. Donc $\ell = \ell'$. Remarquez la mécanique, qui resservira sans cesse : on choisit un $\varepsilon$ particulier, fabriqué à partir des données du problème, et on prend le maximum de deux rangs pour faire tenir deux inégalités en même temps.

Toute suite convergente est bornée. Appliquons la définition avec $\varepsilon = 1$ : il existe $N$ tel que, pour $n \ge N$, $|u_n - \ell| < 1$, donc $|u_n| < |\ell| + 1$. Restent les termes de rang $0$ à $N - 1$, en nombre fini : ils admettent un plus grand module. La suite est donc majorée en valeur absolue par $\max\left(|u_0|, \ldots, |u_{N-1}|, |\ell| + 1\right)$ si $N>0$ ; si $N=0$, le seul majorant $|\ell|+1$ suffit. La réciproque est fausse, et le contre-exemple tient en trois symboles : $u_n = (-1)^n$ est bornée et n'a pas de limite.

Nier la convergence. Nier une proposition quantifiée, c'est échanger chaque « pour tout » en « il existe », chaque « il existe » en « pour tout », et nier l'inégalité finale. « $(u_n)$ ne converge pas vers $\ell$ » s'écrit donc

En clair : il existe une exigence de précision que la suite viole encore, aussi loin qu'on aille. Sur $u_n = (-1)^n$ et $\ell = 1$ : prenez $\varepsilon = 1$ ; quel que soit $N$, il existe un rang impair $n \ge N$, et pour celui-là $|(-1)^n - 1| = 2 \ge 1$. La suite ne converge donc pas vers $1$ ; pour un réel $\ell$ quelconque, l’une des distances $|1-\ell|$ et $|-1-\ell|$ est au moins 1 ; la parité correspondante donne des écarts au moins 1 arbitrairement tard, donc aucune limite réelle.

Le théorème de la limite monotone. Une suite croissante et majorée converge, et sa limite est la borne supérieure $\ell = \sup\lbrace u_n \rbrace$ de l'ensemble de ses termes. La démonstration est le premier usage sérieux de la propriété de la borne supérieure de $\mathbb{R}$ : par définition du sup, $\ell - \varepsilon$ n'est pas un majorant, donc il existe un rang $N$ tel que $u_N > \ell - \varepsilon$ ; par croissance, tous les termes suivants sont eux aussi $> \ell - \varepsilon$ ; et ils sont tous $\le \ell$. Donc $|u_n - \ell| < \varepsilon$ pour $n \ge N$. Notez ce qui est remarquable : on démontre l'existence d'une limite sans la connaître. Une suite croissante non majorée, elle, tend vers $+\infty$.

Suites adjacentes. Deux suites $(a_n)$ croissante et $(b_n)$ décroissante telles que $b_n - a_n \to 0$ sont dites adjacentes : elles convergent vers une même limite $\ell$, et pour tout $n$, $a_n \le \ell \le b_n$. En effet $b_n-a_n$ est décroissante et de limite0, donc positive ou nulle. Ainsi $a_n\leqslant b_n$. On applique alors la convergence monotone : $(a_n)$ est croissante et majorée par $b_0$, $(b_n)$ est décroissante et minorée par $a_0$.

Le cas des limites infinies. La même grammaire s'écrit sans valeur absolue : $u_n \to +\infty$ signifie $\forall A \in \mathbb{R},\ \exists N,\ \forall n \ge N,\ u_n > A$. Le rôle de « aussi petit qu'on veut » est tenu par « aussi grand qu'on veut ». Toutes les fautes de quantificateurs se transposent telles quelles.

Et en pratique ? Trois familles couvrent l'essentiel des exercices, parce que leur écart à la limite se calcule exactement :

Pour l’homographique, à partir d’un rang où $n+d>0$, l’écart est décroissant au sens large ; il est strictement décroissant si $b-ad\neq0$. Pour la géométrique, on traite séparément $q=0$ et $A=0$ ; avec $A\neq0$ et $0<|q|<1$, l’écart décroît strictement. Pour la dernière famille, c’est strict si $A\neq0$. La décroissance est une méthode suffisante pour contrôler toute la suite ; une majoration valable pour chaque $n\geqslant N$ peut aussi suffire, même si l’écart oscille.

Pour $n\geqslant0$, soit $u_n=2+(-1)^n/(n+1)+1/(n+1)^2$. Son écart à 2 n’est pas monotone : il faut justifier les rangs par un argument sur tous les successeurs.

Majorer. Par l’inégalité triangulaire,

Pour un $\varepsilon>0$ donné, choisissons $N=\lceil2/\varepsilon\rceil$. Si $n\geqslant N$, alors $n+1>2/\varepsilon$, donc $|u_n-2|<\varepsilon$. Cela prouve la convergence sans calculer le rang optimal.

Rang optimal pour $\varepsilon=1/10$. Au rang9, impair, l’écart vaut $1/10-1/100=9/100<1/10$. Pour $n\geqslant10$, la majoration plus fine vaut au plus $1/11+1/121=12/121<1/10$, car 120<121. Tous les rangs dès9 conviennent. Au rang8, l’écart vaut $1/9+1/81=10/81>1/10$, car 100>81. Aucun $N\leqslant8$ ne convient : le plus petit est9.

Pourquoi le seul test ne suffit pas. Au rang7, l’écart vaut $1/8-1/64=7/64>1/10$ ; au rang9 il vaut 0,09, puis au rang 10 il remonte à 12/121≈0,09917, tout en restant sous la tolérance. L’écart peut remonter localement sans empêcher la convergence. La preuve s’appuie sur la majoration de tous les successeurs, pas sur une monotonie inexistante.

Figure (fig.math.convergence-definition, SVG programmatique existant) : deux repères côte à côte, la même suite, deux exigences.

• Panneau gauche — $\varepsilon$ « large ». Axe horizontal : le rang $n$, gradué de $0$ à $30$, à partir de zéro. Axe vertical : $u_n$, gradué de $2{,}4$ à $3{,}2$. Les termes de la suite $u_n = \dfrac{3n + 5}{n + 2}$ sont marqués par des disques : $u_0 = 2{,}5$, $u_1 = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67$, $u_2 = 2{,}75$, puis la suite monte vers $3$ en restant toujours en dessous. Une droite horizontale continue en $y = 3$ porte l'étiquette « $\ell = 3$ ». Une bande grisée $\left]3 - \varepsilon\ ;\ 3 + \varepsilon\right[$ avec $\varepsilon = 0{,}1$ traverse tout le panneau, ses deux bords en pointillés et étiquetés « $\ell - \varepsilon$ » et « $\ell + \varepsilon$ ». L'écart valant $\dfrac{1}{n+2}$, le terme $u_8 = \dfrac{29}{10} = 2{,}9$ tombe exactement sur le bord inférieur de la bande (écart $0{,}1$, pas strictement plus petit) : il est dessiné sur le trait, évidé, avec la mention « bord exclu ». Le premier terme réellement dans la bande est $u_9 = \dfrac{32}{11}$, écart $\dfrac{1}{11}$ : il est entouré d'un cercle épais et signalé par une flèche verticale montant de l'axe, étiquette « $N = 9$ ». Les disques de rang $\ge 9$ sont pleins, ceux de rang $< 9$ sont évidés — la distinction ne repose donc pas sur la couleur.
• Panneau droit — $\varepsilon$ dix fois plus petit. Le même repère, mais avec un axe horizontal gradué jusqu'à $120$ et une bande de demi-largeur $\varepsilon = 0{,}01$, beaucoup plus fine. Là encore le rang $98$ tombe pile sur le bord (écart $\dfrac{1}{100}$) et le premier terme intérieur est $u_{99}$, écart $\dfrac{1}{101}$ : étiquette « $N = 99$ ». Une accolade sous l'axe relie les deux panneaux avec la mention « exigence divisée par $10$, rang multiplié par $11$ ».
• Bandeau du bas — la faute de quantificateurs, en image. Deux miniatures. À gauche, une suite qui entre dans la bande au rang $N$ et n'en ressort plus : mention « pour chaque largeur : rester après un rang ». À droite, une suite qui entre dans la bande, en ressort, y revient, en ressort encore, indéfiniment : mention « sorties arbitrairement tardives de cette bande : pas de convergence vers $\ell$ ». Aucune valeur numérique sur cette seconde miniature — c'est une allure, pas une mesure.

Ce qu'il faut lire. La bande matérialise $\varepsilon$, le rang entouré matérialise $N$, et le fait que plus aucun disque ne sorte de la bande après lui matérialise le « pour tout $n \ge N$ ». Passer d'un panneau à l'autre montre en une image la seule chose que l'ordre des quantificateurs affirme : la bande rétrécit, le rang recule, et il n'existe pas de rang qui convienne pour toutes les bandes à la fois.

La figure en détail : la figure comprend deux graphiques et deux vignettes. Dans le premier graphique, les termes d'une suite sont représentés par des points en fonction de leur rang ; ils montent en se rapprochant d'une droite horizontale qui figure la limite. Une bande horizontale centrée sur cette droite représente la tolérance choisie ; le premier point qui entre dans la bande est entouré et son rang est indiqué sous l'axe, et tous les points suivants restent dans la bande. Le second graphique montre la même suite avec une bande dix fois plus fine : le premier point qui y entre est bien plus loin, et son rang est indiqué de la même manière. Une accolade souligne que réduire la tolérance repousse le rang. En bas, deux petites vignettes opposent une suite qui entre dans la bande et n'en ressort plus, ce qui correspond à la convergence, et une suite qui entre et ressort de la bande indéfiniment, ce qui n'y correspond pas.