Cosinus : des côtés aux angles, puis aux problèmes

Dans un triangle rectangle, une même longueur ne suffit pas à déterminer la forme : un triangle peut être plus ou moins allongé. Un angle aigu donne une information supplémentaire. Le cosinus relie cet angle à deux côtés précis, et permet de calculer une longueur ou de retrouver l’angle à partir de longueurs.

Prends un triangle ABC rectangle en A. Le côté [BC], opposé à l’angle droit, est l’hypoténuse : c’est le plus long côté. Pour l’angle ABC, situé au sommet B, le côté [AB] touche cet angle et n’est pas l’hypoténuse ; c’est le côté adjacent. Le cosinus de l’angle ABC est le quotient AB/BC.

Pour l’angle ACB, situé au sommet C, le côté adjacent devient [AC]. L’hypoténuse reste [BC]. Il faut donc nommer l’angle avant de choisir le numérateur. Tourner le dessin ou changer les lettres ne modifie pas la définition. Le cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est compris strictement entre zéro et un : le côté adjacent est positif et plus court que l’hypoténuse.

Commence toujours par vérifier que le triangle est rectangle et par identifier son hypoténuse. Écris ensuite le quotient correspondant à l’angle étudié. La formule géométrique précède le calcul numérique ; elle te protège d’un choix de boutons au hasard.

Si BC et l’angle en B sont connus, AB se calcule en multipliant BC par le cosinus de cet angle. Si AB et l’angle sont connus, BC se calcule en divisant AB par le cosinus. Le résultat doit respecter la place du plus long côté. Un résultat AB supérieur à BC révèle une erreur, même si la calculatrice affiche beaucoup de chiffres.

Pour retrouver l’angle, calcule d’abord le quotient AB/BC, puis utilise la fonction réciproque du cosinus de la calculatrice, souvent notée acos ou cos⁻¹. Elle donne ici un angle en degrés, à condition que la calculatrice soit réglée en mode DEG. Attention : cos⁻¹ sur cette touche ne signifie pas que l’on prend simplement l’inverse numérique du cosinus.

Garde les valeurs non arrondies dans les étapes intermédiaires. Arrondis seulement la réponse finale au rang annoncé : dixième de centimètre, dixième de mètre ou degré entier. Les valeurs saisies dans les exercices sont considérées exactes pour le modèle mathématique ; les illustrations expliquent la disposition, mais ne sont pas des instruments de mesure.

Le triangle ABC est rectangle en A, BC = 10 cm et l’angle ABC vaut 60°. On cherche AB. Son rôle est clair : AB est adjacent à l’angle donné ; BC est l’hypoténuse. On écrit cos(60°) = AB/10, puis AB = 10 × cos(60°) = 5 cm. Le résultat est inférieur à 10 cm.

Dans la question inverse, si AB = 5 cm et le même angle vaut 60°, on écrit BC = 5 ÷ cos(60°) = 10 cm. Multiplier donnerait 2,5 cm, une hypoténuse plus courte que le côté adjacent : c’est impossible.

Avec AB = 6 cm et BC = 10 cm, le quotient vaut 0,6. La calculatrice donne acos(0,6), soit environ 53° à l’unité près. On a retrouvé un angle aigu cohérent avec la configuration. Ce dernier calcul n’est pas 1/0,6.

Le premier schéma place l’angle droit en A. Pour l’angle en B, suis AB avant de comparer à BC. Pour l’angle en C, suis AC. L’hypoténuse est commune aux deux lectures. Les noms écrits sur les côtés évitent de dépendre uniquement des couleurs.

Dessine la même figure tournée d’un quart de tour et retrouve ces deux rapports. La position « en bas » ou « à gauche » n’a aucune importance ; l’angle droit et le sommet de l’angle étudié déterminent les rôles. Cette lecture de schéma prépare les problèmes où plusieurs triangles rectangles partagent une partie de leur figure.