Vecteurs aléatoires et covariance

Un vecteur aléatoire rassemble plusieurs variables définies sur la même expérience. Leurs espérances forment un vecteur ; leurs variances et covariances forment une matrice symétrique positive. Pour des variables de carré intégrable, $\operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb E[(X-\mathbb EX)(Y-\mathbb EY)]$. Elle mesure une dépendance linéaire, pas toute forme de dépendance.

La covariance est bilinéaire et les constantes additives disparaissent. Pour $Z=aX+bY$, $\operatorname{Var}Z=a^2\operatorname{Var}X+b^2\operatorname{Var}Y+2ab\operatorname{Cov}(X,Y)$. L'indépendance implique une covariance nulle sous ces hypothèses ; l'inverse n'est pas général. Pour un vecteur transformé par $AZ+c$, la matrice devient $A\Sigma A^T$.

Supposez $\operatorname{Var}X=4$, $\operatorname{Var}Y=9$ et $\operatorname{Cov}(X,Y)=1$. Pour $T=2X-Y+7$, la variance vaut $4\times4+9-4\times1=21$. Le terme 7 ne contribue pas. La matrice $\begin{pmatrix}4&1\\1&9\end{pmatrix}$ est cohérente avec une covariance : son déterminant vaut 35 et ses termes diagonaux sont positifs. Le coefficient de corrélation vaut $1/(2\times3)=1/6$.

Le tableau sépare les deux termes de variance et le terme croisé. Le signe négatif dans $2X-Y$ rend la contribution croisée négative, sans rendre la variance totale négative. Oublier ce terme donnerait 25 au lieu de 21.