Dériver une fonction composée

Vous savez dériver une puissance, mais comment dériver $f(x)=(3x-2)^4$ sans tout développer ? Le calcul de l’image comporte deux étapes : on calcule d’abord $u(x)=3x-2$, puis on élève le résultat à la puissance quatre avec $g(t)=t^4$. On écrit $f=g\circ u$, ce qui se lit « g composée avec u », et signifie $f(x)=g(u(x))$.

Quand $x$ varie, la valeur intermédiaire $u(x)$ varie, puis l’image finale varie à son tour. La dérivée mesure une variation locale. Les effets des deux transformations se multiplient : celui de $u$ au point $x$, puis celui de $g$ au point $u(x)$.

La règle est donc $f'(x)=u'(x)\,g'(u(x))$. Elle s’applique lorsque $u$ est dérivable au point $x$ et $g$ au point $u(x)$. Sur un intervalle, on vérifie ces conditions en chaque point. On dérive la fonction extérieure, on l’évalue en la fonction intérieure, puis on multiplie par la dérivée de cette dernière.

Dans notre exemple, $u'(x)=3$ et $g'(t)=4t^3$. Ainsi $f'(x)=3\times4(3x-2)^3=12(3x-2)^3$, pour tout réel $x$. Le facteur trois traduit la variation de l’entrée de la puissance : l’oublier reviendrait à dériver comme si cette entrée était simplement $x$.

Une composition n’est pas un produit. Dans $g(u(x))$, on applique une fonction à une valeur ; dans $g(x)u(x)$, on multiplie deux valeurs. Ces opérations demandent des règles différentes.

Les conditions de définition précèdent le calcul. Pour $\ln(u(x))$, il faut $u(x)>0$ ; pour $\sqrt{u(x)}$, il faut $u(x)\geq0$ pour définir la fonction, mais la formule usuelle de dérivation demande $u(x)>0$.

Par exemple, $h(x)=\sqrt{2x+4}$ est définie pour $x\geq-2$. Sur $]-2;+\infty[$, sa dérivée est $h'(x)=2/(2\sqrt{2x+4})=1/\sqrt{2x+4}$. On ne peut pas appliquer cette expression en $-2$. Le domaine de définition et le domaine où la formule donne une dérivée ne se confondent pas.

Pour une fonction $u$ dérivable, les cas usuels sont les suivants :

Le logarithme sera expliqué comme réciproque de l’exponentielle dans sa leçon. Ici, sa formule de dérivation est un outil déjà connu. Pour une puissance entière négative, la même règle s’applique là où $u$ ne s’annule pas.

Énoncé construit. On considère $f(x)=e^{x^2+1}$. Déterminer $f'$ sur $\mathbb{R}$, puis $f'(1)$.

1. Décomposer. La fonction intérieure est $u(x)=x^2+1$ ; la fonction extérieure est $g(t)=e^t$. Elles sont dérivables sur $\mathbb{R}$, donc la composition aussi.

2. Dériver séparément. On obtient $u'(x)=2x$ et $g'(t)=e^t$.

3. Composer dans le bon ordre. On remplace $t$ par $u(x)$ dans $g'(t)$ : $g'(u(x))=e^{x^2+1}$. On ne remplace pas $t$ par $u'(x)$.

4. Multiplier. On trouve $f'(x)=2xe^{x^2+1}$.

5. Évaluer après le calcul. Au point $x=1$, $f'(1)=2e^2$. C’est une valeur exacte ; aucune approximation n’est demandée.

Contrôle. L’exponentielle est toujours positive. Le signe de $f'$ est donc celui de $x$ : négatif avant zéro, nul en zéro et positif après zéro. C’est cohérent avec le minimum de $x^2+1$ en zéro et avec la croissance de l’exponentielle.

Le schéma comporte une chaîne horizontale : $x$, puis $u(x)$, puis $g(u(x))$. La première flèche est nommée « appliquer u », la seconde « appliquer g ». Sous chaque flèche figurent respectivement $u'(x)$ et $g'(u(x))$ ; une accolade associe leur produit à $f'(x)$.

Pour l’exemple, les trois cases portent $x$, $x^2+1$ et $e^{x^2+1}$. Les deux facteurs sont $2x$ et $e^{x^2+1}$. Les mots « valeur intermédiaire » sous la case centrale rappellent où évaluer la dérivée extérieure.

Ce dessin vectoriel distingue par les positions et les légendes, et pas seulement par les couleurs, la chaîne des valeurs et les facteurs de dérivation. Le lire à voix haute donne : « je transforme l’entrée, puis je transforme le résultat ». Aucun ordre de composition n’est interchangeable.