Déterminants et transformations de lignes

Le déterminant est un scalaire associé à une matrice carrée. Il détecte l'inversibilité : $A$ est inversible si et seulement si $\det A\ne0$. Géométriquement, sa valeur absolue mesure le facteur de volume orienté dans une base orthonormée ; son signe traduit l'orientation. Une matrice rectangulaire n'a pas de déterminant au sens usuel.

Le déterminant est multilinéaire et alterné en ses lignes, ou en ses colonnes. Permuter deux lignes change son signe ; multiplier une ligne par $c$ le multiplie par $c$ ; ajouter à une ligne un multiple d'une autre ne le change pas. Une matrice triangulaire a pour déterminant le produit de ses coefficients diagonaux. Ces règles permettent une élimination efficace en gardant une trace des opérations.

Pour $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\4&3&1\\0&2&1\end{pmatrix}$, remplacez la deuxième ligne par $L_2-2L_1$, sans changer le déterminant. Vous obtenez $\begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&1\\0&2&1\end{pmatrix}$. Puis $L_3\leftarrow L_3-2L_2$ donne une matrice triangulaire de diagonale $(2,1,-1)$. Le déterminant vaut $-2$. Le développement sur la première ligne confirme $2(3-2)-(4-0)=-2$.

Le tableau montre les deux opérations puis le produit diagonal. Aucune permutation ni multiplication isolée n'a eu lieu : il n'y a donc aucun facteur correctif. Si vous aviez échangé deux lignes, il faudrait changer le signe à la fin.