Développements limités : remplacer par un polynôme

Vous savez déjà remplacer une fonction par une droite : c'est la tangente. Si $f$ est dérivable en $0$, alors $f(x)$ vaut $f(0) + f'(0)\,x$, à une erreur près qui tend vers $0$ plus vite que $x$. Cette approximation est excellente… tant qu'on reste très près de $0$, et tant qu'on ne cherche pas mieux qu'un ordre $1$. Lorsque les premiers termes se compensent dans un quotient de forme $\frac{0}{0}$, la tangente peut ne plus suffire : il faut un développement à l’ordre 2, puis 3, puis n : la partie polynomiale a un degré au plus égal à cet ordre. C'est exactement ce qu'est un développement limité.

Définition. Soit $f$ définie au voisinage de $0$ et $n \in \mathbb{N}$. On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$, en abrégé $\mathrm{DL}_n(0)$, s'il existe des réels $a_0, a_1, \ldots, a_n$ tels que

$$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^{2} + \cdots + a_n x^{n} + o(x^{n}) \qquad (x \to 0).$$

La partie polynomiale $a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^{n}$ s'appelle la partie régulière, et $o(x^{n})$ le reste.

Que veut dire le reste ? L'écriture $o(x^{n})$ — « petit o de $x^{n}$ » — désigne une fonction $\varepsilon(x)\,x^{n}$ où $\varepsilon(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. Autrement dit : l'erreur commise en remplaçant $f$ par son polynôme est négligeable devant $x^{n}$. Ce n'est PAS « l'erreur est nulle », ni « l'erreur est petite » : c'est une comparaison, et une comparaison locale, valable au voisinage de $0$ et nulle part ailleurs.

Pourquoi une telle écriture est-elle utile ? Parce qu'un polynôme, on sait tout en faire : l'additionner, le multiplier, le composer, repérer son terme de plus bas degré. Une fonction transcendante comme $e^{x}$ ou $\ln(1+x)$, non. Le développement limité est donc un traducteur : il transforme un problème d'analyse en un calcul de polynômes, et le reste porte la trace de ce qu'on a jeté.

Le théorème qui les fabrique.

Formule de Taylor-Young. Si $f$ est $n$ fois dérivable en $0$, alors

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k} + o(x^{n}).$$

Elle donne la partie régulière en fonction des dérivées successives, et elle explique d'un coup tous les développements usuels : le coefficient de $x^{k}$ n'est autre que $f^{(k)}(0)/k!$. Elle est locale : elle décrit ce qui se passe au voisinage de $0$, elle ne fournit pas à elle seule une borne numérique explicite de l’erreur sur un intervalle fixé ; le petit o signifie cependant que pour tout epsilon positif, l’erreur est au plus epsilon fois $|x|^n$ assez près de zéro.

Le point qui rend tout le calcul licite.

Unicité. Si $f$ admet un $\mathrm{DL}_n(0)$, sa partie régulière est unique.

Sans ce résultat, rien ne serait possible : c'est lui qui autorise à obtenir un développement par tout chemin justifié — produit, composition sous ses hypothèses, identification — et à identifier ensuite les coefficients terme à terme, comme on identifie deux polynômes égaux. Deux corollaires utiles : si $f$ est paire, tous les coefficients d'indice impair sont nuls ; si $f$ est impaire, tous ceux d'indice pair le sont. C'est pourquoi le développement de $\cos$ ne contient que des puissances paires, celui de $\sin$ que des impaires — et c'est un contrôle gratuit sur toute copie.

Les six développements à connaître par cœur. Ils s'obtiennent tous par Taylor-Young, et on ne les redémontre plus :

Ces six lignes sont l'outillage complet de la leçon. Tout le reste s'en déduit par les opérations du bloc suivant.

Un développement limité se manipule comme un polynôme — à une discipline près : on tronque à l'ordre voulu, et le reste absorbe tout ce qui est plus petit. Voici les quatre opérations, avec ce qui les rend légitimes.

Somme. Si $f$ et $g$ ont un $\mathrm{DL}_n(0)$, alors $f + g$ aussi, et on ajoute les parties régulières terme à terme. Aucune condition. Attention seulement à l'ordre : la somme n'est développée qu'à l'ordre du moins bon des deux.

Produit. On multiplie les deux parties régulières, puis on jette tous les termes de degré strictement supérieur à $n$. Leurs coefficients ne sont pas justifiés par ces seules données : des contributions inconnues d’ordre supérieur peuvent s’y ajouter. Ces termes sont absorbés dans le reste au niveau de précision retenu. Exemple, à l'ordre $2$ :

Composition — vérifier le point de développement. Pour développer $f(u(x))$ en substituant le DL de $u$ dans celui de $f$, il faut que $u(x)$ tende vers $0$ quand $x$ tend vers $0$, ce qui équivaut à $u(0)=0$ lorsque u est définie et continue en zéro. La raison est immédiate : le développement de $f$ dont on dispose est un développement en $0$, il ne décrit $f$ qu'au voisinage de $0$. Si u tend vers 1, il faut un développement de la fonction extérieure au voisinage de 1, ou un changement d’écriture approprié, pas son développement en zéro.

où l'on a jeté, dans chaque carré et chaque cube, tout ce qui dépasse le degré $3$. Vérification du coefficient de $x^{3}$ : $-\frac{1}{6}$ (issu du sinus), plus $0$ (le double produit du carré est en $x^{4}$), plus $\frac{1}{6}$ (issu du cube) — total nul.

Quotient. Deux méthodes, au choix. Soit on écrit $\dfrac{1}{1+v}$ avec $v$ tendant vers $0$ et on compose avec le DL de $\dfrac{1}{1-x}$ ; soit on pose le quotient comme une division suivant les puissances croissantes. La condition est toujours la même : le dénominateur ne doit pas s'annuler en $0$ — sinon on factorise d'abord la puissance de $x$ fautive.

Intégration et dérivation. Pour une fonction f continue près de zéro et une primitive F, on peut intégrer le DL terme à terme : le reste devient $o(x^{n+1})$ et la constante est $F(0)$, pas $f(0)$. C'est ainsi qu'on retrouve $\ln(1+x)$ en intégrant $\dfrac{1}{1+x}$. En revanche, on ne dérive pas un DL : l'existence d'un $\mathrm{DL}_n$ de $f$ n'entraîne pas celle d'un $\mathrm{DL}_{n-1}$ de $f'$. On dérive la FONCTION, puis on développe.

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À quoi servent-ils ? Trois usages, dans cet ordre d'importance.

1. Lever une forme indéterminée. C'est l'usage massif. Une limite en $\frac{0}{0}$ se traite en développant numérateur et dénominateur à des ordres suffisamment précis pour identifier leurs premiers termes non nuls. Le principe : si $N(x) = a x^{p} + o(x^{p})$ et $D(x) = b x^{q} + o(x^{q})$ avec $a$ et $b$ non nuls, alors

La limite est donc $a/b$ si $p = q$, elle est nulle si $p > q$, de module non borné si $p<q$ ; il faut examiner les signes et la parité pour les limites de chaque côté. Toute la difficulté pratique tient dans le choix de l'ordre : trop bas, on obtient $\frac{0}{0}$ à nouveau et on conclut faussement ; trop haut, on calcule pour rien.

2. Produire un équivalent. Le premier terme non nul d'un DL est un équivalent de la fonction : si $f(x) = a_p x^{p} + o(x^{p})$ avec $a_p$ non nul, alors $f(x) \sim a_p x^{p}$ au voisinage de $0$. C'est la passerelle avec les relations de comparaison vues juste avant dans le cycle. Attention : un équivalent se multiplie et se divise, il ne s'ajoute pas — c’est parce qu’aucune règle générale d’addition n’est valable en présence d’une annulation qu'on garde le DL complet plutôt que le seul premier terme.

3. Situer une courbe par rapport à sa tangente. Si $f(x) = f(0) + f'(0)x + a_p x^{p} + o(x^{p})$ avec $a_p$ non nul et $p \ge 2$, alors la tangente en $0$ a pour équation $y = f(0) + f'(0)x$, et le signe de $a_p x^{p}$ donne la position locale de la courbe : au-dessus si ce terme est positif, au-dessous sinon. Si $p$ est pair, la courbe reste du même côté ; si $p$ est impair, elle traverse la tangente ; conclure à un changement de convexité demande des hypothèses supplémentaires sur les dérivées au voisinage.

Un dernier mot sur le reste. Le $o(x^{n})$ n'est pas décoratif. Écrire $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$ sans reste est faux : les deux membres ne sont égaux pour aucun $x$ non nul. Écrire $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})$ est vrai, et cette vérité est locale. Un DL ne dit rien de $f$ en dehors du voisinage de $0$, et ne traite une limite à l’infini qu’après un changement de variable et une justification adaptés.

Pour x non nul proche de zéro, comparons

Les deux numérateurs semblent proches ; la différence de ce qu’on retranche intervient pourtant précisément à l’ordre utile.

Composer à l’ordre 3. Avec $u=\sin x=x-x^3/6+o(x^3)$, on utilise $e^u=1+u+u^2/2+u^3/6+o(u^3)$. Puisque u/x tend vers 1, le reste composé est $o(x^3)$. Le carré vaut $x^2+o(x^3)$ et le cube $x^3+o(x^3)$. Les deux coefficients cubiques, −1/6 et +1/6, se compensent :

Ainsi A(x) tend vers zéro, bien que le polynôme écrit n’ait que le degré 2 : on dispose d’une précision d’ordre 3 avec coefficient cubique nul.

Garder la variable intérieure pour B. Avant de développer le sinus, $e^u-1-u-u^2/2=u^3/6+o(u^3)$. Donc

Retrancher x plutôt que sin x change le terme cubique ; ce n’est pas un détail d’arrondi.

Contrôle de la différence. $B-A=(x-\sin x+(x^2-(\sin x)^2)/2)/x^3$. Le premier quotient tend vers 1/6 ; le second tend vers zéro car $x^2-\sin^2x=(x-\sin x)(x+\sin x)=O(x^4)$. On retrouve la différence 1/6 des limites.

La figure existante comporte deux panneaux et deux vignettes. À gauche, $e^x$ est comparée à $P_1=1+x$, $P_2=1+x+x^2/2$ et $P_3=1+x+x^2/2+x^3/6$ dans un repère orthonormé. Les styles de trait distinguent les courbes. La bande −0,3 à 0,3 rappelle le voisinage de zéro, sans garantir que tous les écarts sont invisibles à cette échelle.

À droite, les deux axes sont logarithmiques : x va de 0,01 à 1, l’erreur de $10^{-8}$ à 1. Les références $x^2$, $x^3$ et $x^4$ sont donc des droites de pentes 2, 3 et 4. Pour les polynômes de l’exponentielle illustrés, $e^x-P_n(x)\sim x^{n+1}/(n+1)!$ quand x tend vers zéro par valeurs positives. Les erreurs se rapprochent de leurs références en régime asymptotique ; elles ne sont pas exactement des puissances sur tout le panneau.

Les vignettes utilisent $\ln(1+x)=x+o(x)$ : y=x est une tangente. Substituer u=2+x dans ce seul développement en u=0 serait injustifié puisque u tend vers 2. Un développement au bon centre, ou une réécriture autour de ce centre, est nécessaire.

Lecture et limite. Pour ces approximations de l’exponentielle, augmenter l’ordre améliore les écarts représentés près de zéro. Ce n’est pas une garantie générale d’amélioration pour toute fonction, tout x et tout ordre. Un tracé approché ou un échantillonnage ne constitue pas une borne uniforme certifiée de son erreur.