Diagonalisation : construire une base propre

Diagonaliser une matrice $A\in M_n(\mathbb K)$, c'est trouver une base dans laquelle l'endomorphisme associé agit séparément sur chaque coordonnée. Un vecteur propre $v\ne0$ vérifie $Av=\lambda v$. Si une base est formée de tels vecteurs, la matrice dans cette base est diagonale : $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$.

En plaçant les vecteurs propres en colonnes de $P$, dans le même ordre que les valeurs propres de $D$, vous obtenez $AP=PD$, donc $A=PDP^{-1}$. L'inversibilité de $P$ est essentielle : une liste de vecteurs propres ne suffit pas, il faut une base. Le corps compte : une matrice réelle peut être diagonalisable sur $\mathbb C$ sans l'être sur $\mathbb R$.

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique $\det(\lambda I-A)$. Pour chacune, calculez l'espace propre $E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$. Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont indépendants. En particulier, $n$ valeurs propres distinctes dans le corps considéré suffisent pour diagonaliser.

Une racine multiple n'interdit pas la diagonalisation : il faut comparer multiplicité algébrique et dimension de l'espace propre. La condition générale est que le polynôme caractéristique soit scindé et que la somme des dimensions des espaces propres vaille $n$. La matrice identité est diagonalisable malgré sa valeur propre unique ; la matrice $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ne l'est pas, car son seul espace propre est une droite.

Prenez $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$. Le polynôme caractéristique est $(\lambda-2)(\lambda-3)$. Pour $\lambda=2$, $v_1=(1,0)$ convient. Pour $\lambda=3$, l'équation $-x+y=0$ donne $v_2=(1,1)$.

On choisit $P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, $P^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$ et $D=\operatorname{diag}(2,3)$. Vérification directe : $AP=\begin{pmatrix}2&3\\0&3\end{pmatrix}=PD$.

Pour $k\in\mathbb N$, $A^k=PD^kP^{-1}=\begin{pmatrix}2^k&3^k-2^k\\0&3^k\end{pmatrix}$. En $k=2$, on retrouve $\begin{pmatrix}4&5\\0&9\end{pmatrix}$, ce que confirme la multiplication $A\times A$.

La figure montre les deux directions propres de l'exemple : $v_1=(1,0)$ et $v_2=(1,1)$. Leurs images sont respectivement $(2,0)$ et $(3,3)$ : chacune reste sur sa propre droite. Les flèches longues ne représentent donc pas une rotation des vecteurs, mais leur multiplication par leur valeur propre.

Une base propre peut être oblique. Ici les directions ne sont pas orthogonales : diagonalisation ne signifie pas diagonalisation orthogonale. Cette dernière demande des hypothèses supplémentaires, notamment la symétrie réelle.