Valeurs propres et vecteurs propres

Pour un endomorphisme $f$ d'un espace vectoriel, un vecteur propre est un vecteur non nul $v$ dont l'image est colinéaire à lui : $f(v)=\lambda v$. Le scalaire $\lambda$ est une valeur propre. Pour une matrice carrée, les vecteurs propres de valeur $\lambda$ forment, avec zéro, l'espace propre $\ker(A-\lambda I)$.

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique dans le corps choisi. Un même scalaire peut avoir plusieurs vecteurs propres indépendants. Des espaces propres associés à des valeurs distinctes sont en somme directe. Disposer d'une valeur propre ne suffit pas à construire une base propre : c'est la question supplémentaire de la diagonalisabilité.

Prenez $A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}$. Pour $v=(1,1)$, $Av=(5,5)=5v$, donc 5 est valeur propre. Pour $w=(1,-2)$, $Aw=(2,-4)=2w$, donc 2 en est une autre. Le polynôme caractéristique est $(\lambda-4)(\lambda-3)-2=\lambda^2-7\lambda+10$, dont les racines sont bien 5 et 2. Les deux vecteurs sont indépendants.

Le tableau présente chaque vecteur et son image. Les coordonnées de l'image sont toutes multipliées par le même scalaire, ce qui distingue une vraie relation propre d'un simple accord sur une coordonnée. Le vecteur nul serait compatible avec tous les scalaires et ne permettrait aucune identification.