Endomorphismes symétriques et théorème spectral

Un endomorphisme d'un espace euclidien est symétrique, ou auto-adjoint réel, si $\langle u(x),y\rangle=\langle x,u(y)\rangle$ pour tous les vecteurs. Dans une base orthonormée, sa matrice est symétrique : $A^T=A$. La mention « orthonormée » est essentielle pour relier ainsi la propriété intrinsèque à la simple transposition.

Le théorème spectral réel assure une base orthonormée de vecteurs propres, avec valeurs propres réelles. On écrit $A=QDQ^T$ avec $Q$ orthogonale. La norme opérateur euclidienne vaut le maximum des valeurs absolues des valeurs propres. La positivité de la forme quadratique associée équivaut à des valeurs propres positives ou nulles.

Pour $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$, les vecteurs $(1,1)$ et $(1,-1)$ ont pour valeurs propres 4 et 2. Normalisés par $\sqrt2$, ils forment une base orthonormée. La norme opérateur vaut 4 et $x^TAx\ge2\|x\|^2$ pour tout $x$. En particulier, $A$ est définie positive et inversible ; la plus petite valeur propre contrôle le minorant.

Le tableau présente les deux directions orthogonales avec leurs facteurs d'étirement. La plus forte valeur absolue donne la norme opérateur. Le fait que les deux facteurs soient positifs explique la positivité, mais le même raisonnement de norme resterait valable avec une valeur propre négative.