Équations linéaires à coefficients variables

Une équation $y'+a(t)y=b(t)$ est linéaire du premier ordre. Sur un intervalle où $a$ et $b$ sont continues, chaque condition initiale donne une solution unique. Le coefficient variable empêche de remplacer systématiquement la solution par une exponentielle $e^{\lambda t}$ à exposant linéaire ; il faut intégrer $a$.

Choisissez un facteur intégrant $\mu(t)=e^{\int a(t)dt}$, jamais nul. Le produit vérifie $(\mu y)'=\mu b$. Vous pouvez alors intégrer et appliquer la condition initiale. Le choix de constante dans une primitive de $a$ multiplie $\mu$ par une constante non nulle et ne modifie pas la famille de solutions.

Résolvez $y'+2ty=2t$ avec $y(0)=3$. On choisit $\mu=e^{t^2}$. Alors $(e^{t^2}y)'=2te^{t^2}=(e^{t^2})'$. Il vient $y=1+Ce^{-t^2}$ ; la condition initiale donne $C=2$. La dérivation de $y=1+2e^{-t^2}$ fournit $y'=-4te^{-t^2}$, et $y'+2ty=2t$. La solution est définie sur tout $\mathbb R$ et tend vers 1 lorsque $t\to\pm\infty$.

Le tableau présente le coefficient a(t), le facteur intégrant, la famille de solutions puis la constante fixée par la donnée initiale. Le calcul de la dérivée du produit est développé dans le texte. La multiplication sert à reconnaître cette dérivée exacte ; le contrôle final revient à l'équation d'origine.