Systèmes différentiels linéaires

Un système $X'(t)=A(t)X(t)+B(t)$ fait évoluer plusieurs inconnues couplées. Avec des coefficients continus, un état initial détermine une solution unique sur l'intervalle des coefficients. Pour une matrice constante, le système homogène se résout par $e^{tA}$ ; une diagonalisation peut simplifier cette exponentielle, mais n'est pas nécessaire à l'existence de la solution.

Un système triangulaire se résout souvent par étapes. Résolvez d'abord l'équation autonome puis utilisez son résultat comme second membre de la suivante. Si une force possède la même exponentielle qu'une solution homogène, la solution particulière peut comporter un facteur $t$ : c'est une résonance algébrique, qu'une variation de constante traite sans deviner.

Résolvez $y'=2y$, $x'=2x+y$, avec $x(0)=1$, $y(0)=3$. La première équation donne $y=3e^{2t}$. Posez $x=u(t)e^{2t}$ ; alors $x'-2x=u'e^{2t}=3e^{2t}$, donc $u'=3$. L'état initial impose $u=1+3t$, d'où $x=(1+3t)e^{2t}$. La dérivation redonne $x'=(5+6t)e^{2t}=2x+y$, ce qui contrôle la solution.

Le tableau montre l'ordre de résolution : l'équation de $y$ fournit le second membre de celle de $x$. Le facteur $t$ apparaît après intégration de la constante $u'=3$. Une simple combinaison de deux exponentielles identiques ne produirait pas ce terme.