Espaces euclidiens et projection orthogonale

Un espace euclidien réel de dimension finie possède un produit scalaire bilinéaire, symétrique et défini positif. Il définit norme, angles et orthogonalité. Pour un sous-espace $F$, tout vecteur $u$ se décompose de manière unique en $u=p+r$ avec $p\in F$ et $r\in F^\perp$. Le vecteur $p$ est la projection orthogonale sur $F$.

Sur la droite engendrée par un vecteur $v\ne0$, la projection est $p=\langle u,v\rangle v/\langle v,v\rangle$. Elle minimise la distance de $u$ à la droite. Dans une base orthonormée d'un sous-espace, les projections élémentaires s'additionnent ; dans une base oblique, cette formule simple ne s'applique pas sans traiter la matrice de Gram.

Dans $\mathbb R^3$ usuel, prenez $u=(2,1,3)$ et $v=(1,1,0)$. Le produit scalaire vaut 3 et la norme au carré de $v$ vaut 2. Donc $p=(3/2,3/2,0)$ et $r=(1/2,-1/2,3)$. On contrôle $r\cdot v=0$. La distance à la droite vaut $\|r\|=\sqrt{19/2}$ ; Pythagore donne $\|u\|^2=14=9/2+19/2$.

Le tableau indique la composante portée par la droite et le résidu orthogonal. La vérification du produit scalaire nul établit la perpendicularité sans dépendre d'un dessin en perspective. Le contrôle de Pythagore vérifie aussi les longueurs.