Produit hermitien et norme complexe

Sur un espace vectoriel complexe, le produit hermitien remplace le produit scalaire réel. Il est sesquilinéaire, à symétrie conjuguée et défini positif. Nous adoptons ici la convention linéaire en première variable : $\langle z,w\rangle=\sum z_k\overline{w_k}$ dans la base canonique. Certains ouvrages adoptent la convention opposée ; les formules doivent rester cohérentes.

La norme est $\|z\|=\sqrt{\langle z,z\rangle}$, réel positif. Cauchy-Schwarz donne $|\langle z,w\rangle|\le\|z\|\|w\|$. Les notions d'orthogonalité, de projection et de base orthonormée s'étendent au complexe avec conjugaison. Une forme bilinéaire complexe sans conjugaison ne définit pas cette norme positive.

Pour $z=(1+i,2i)$ et $w=(1,i)$, la norme au carré de $z$ vaut $|1+i|^2+|2i|^2=2+4=6$. Le produit hermitien est $(1+i)\times1+2i\times(-i)=3+i$. Celui dans l'ordre inverse est $3-i$, conformément à la symétrie conjuguée. Le module du produit vaut $\sqrt{10}$ et la borne de Cauchy-Schwarz est $\sqrt6\sqrt2=\sqrt{12}$.

Le tableau affiche la norme carrée de z, les deux produits scalaires conjugués et la comparaison de Cauchy-Schwarz. La conjugaison du deuxième vecteur se fait dans le calcul de l'exemple ; elle n'est pas détaillée dans la figure. La norme additionne des modules au carré, jamais de simples carrés complexes.