Espaces métriques, adhérence et distance

Une distance $d$ sur $E$ est positive, symétrique, nulle seulement sur la diagonale et vérifie l'inégalité triangulaire. Elle définit les boules ouvertes et la convergence : $x_n\to x$ si $d(x_n,x)\to0$. La topologie métrique permet de formaliser voisinages, ouverts et fermés sans coordonnées particulières.

L'adhérence d'une partie $A$ contient les points dont toute boule rencontre $A$. Dans un espace métrique, elle coïncide avec l'ensemble des limites de suites d'éléments de $A$. Pour $A\ne\varnothing$, la distance à l'ensemble est $d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)$ ; elle vaut zéro exactement sur l'adhérence, sans assurer que le point appartient à $A$.

Dans la droite usuelle, prenez $A=]0,1[$. La distance de 2 à $A$ vaut 1, bien qu'aucun point de $A$ n'atteigne cette distance. La distance de 0 à $A$ vaut zéro, car les points $1/n$ s'en approchent pour $n\ge2$ ; pourtant $0\notin A$. L'adhérence est $[0,1]$ et l'intérieur $]0,1[$. Les points 0 et 1 forment la frontière.

Le tableau distingue appartenance et distance nulle. La suite s'approchant de zéro fournit une preuve d'adhérence ; l'intervalle ouvert exclut encore ce point. L'infimum peut exister sans minimiseur.