Espaces vectoriels et sous-espaces contraints

Un espace vectoriel est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire satisfaisant les règles de linéarité. Dans $\mathbb K^n$, un sous-espace contient zéro et est stable par combinaison linéaire. Les solutions d'un système linéaire homogène forment un sous-espace ; une contrainte avec un second membre non nul donne en général un ensemble affine, pas vectoriel.

Une famille est libre si seule la combinaison à coefficients tous nuls donne zéro. Elle engendre l'espace si toute valeur est une combinaison de ses vecteurs. Une base possède les deux propriétés ; sa taille est la dimension en dimension finie. Paramétrer des solutions permet de construire une base, mais il faut aussi prouver l'indépendance des vecteurs proposés.

Dans $\mathbb R^4$, imposez $x+y+z=0$ et $t=x-y$. Posez $x=a$ et $y=b$ ; alors $z=-a-b$, $t=a-b$. Tout vecteur s'écrit $a(1,0,-1,1)+b(0,1,-1,-1)$. Ces deux vecteurs sont indépendants, car leurs deux premières coordonnées forcent successivement les coefficients à zéro. Le sous-espace a dimension 2. Il n'est pas nécessaire de soustraire naïvement le nombre d'équations : ici leur indépendance est effectivement vérifiée par la paramétrisation.

La figure présente les paramètres libres et les coordonnées imposées. Deux choix libres donnent deux directions de base, tandis que les autres coordonnées sont calculées. Ce tableau rend la dépendance algébrique visible sans prétendre représenter géométriquement un espace de dimension quatre.