Normes et applications linéaires continues

Une norme mesure la taille d'un vecteur : elle est positive et séparante, homogène en valeur absolue et sous-additive. Elle induit une distance $d(x,y)=\|x-y\|$. Une application linéaire entre espaces normés est continue si et seulement si une constante $C$ vérifie $\|Ax\|\le C\|x\|$ pour tout $x$.

La norme opérateur est le plus petit tel majorant, soit $\sup_{\|x\|=1}\|Ax\|$. Elle dépend des normes de départ et d'arrivée. En dimension finie, toutes les normes vectorielles sont équivalentes au sens topologique, mais leurs valeurs numériques et les normes opérateurs induites ne sont pas identiques.

Avec la norme $\|x\|_1=\sum|x_i|$, la norme induite d'une matrice vaut le maximum des sommes absolues de ses colonnes. Pour $A=\begin{pmatrix}1&-2\\3&4\end{pmatrix}$, les sommes sont 4 et 6 ; la norme vaut 6. L'inégalité générale donne la borne, et $x=(0,1)$ de norme 1 réalise $Ax=(-2,4)$ de norme 6. Ce vecteur prouve que le majorant est optimal.

Le tableau conserve les colonnes et leurs sommes absolues. La norme unitaire teste les vecteurs de base ; ici la deuxième colonne réalise la borne. Pour la norme infinie, ce seraient les sommes absolues des lignes, une autre formule.