Racines de l’unité et ordre multiplicatif

Une racine $n$-ième de l'unité est un complexe $z$ tel que $z^n=1$. Il existe exactement $n$ telles racines dans $\mathbb C$ : $e^{2i\pi k/n}$ pour $k=0,\ldots,n-1$. Elles appartiennent au cercle unité et forment un groupe pour la multiplication. Leur argument est défini modulo $2\pi$, ce qui explique l'indexation modulo $n$.

L'ordre d'une racine est le plus petit entier strictement positif $d$ tel que $z^d=1$. Pour $z=e^{2i\pi k/n}$, il vaut $n/\gcd(n,k)$. Une racine est primitive si son ordre est $n$, donc si $k$ et $n$ sont premiers entre eux. Être racine $n$-ième n'implique pas avoir exactement l'ordre $n$.

Prenez $z=e^{2i\pi\cdot8/12}$. Comme $\gcd(12,8)=4$, son ordre vaut $12/4=3$. Effectivement $z^3=e^{4i\pi}=1$, tandis que $z$ et $z^2$ ne valent pas 1. La somme des douze racines douzièmes vaut zéro par une somme géométrique de raison $e^{2i\pi/12}\ne1$. Cela concerne l'ensemble complet, pas nécessairement un sous-ensemble arbitraire de racines.

Le tableau suit les puissances jusqu'au retour à l'unité. L'ordre mesure la longueur du cycle de multiplication. La fraction $8/12=2/3$ explique le même résultat par réduction de l'argument : trois étapes suffisent au premier retour.