La fonction exponentielle : égale à sa dérivée

Les fonctions de référence déjà étudiées étaient données par une formule : $x^2$, $\dfrac{1}{x}$, $\sqrt{x}$, $ax + b$. La fonction exponentielle est ici définie autrement — par une propriété, et cette propriété parle de sa dérivée. Il faut d'abord comprendre pourquoi une telle définition a un sens.

Une grandeur qui croît à proportion d'elle-même. Une population de bactéries dans un milieu riche, un capital placé à intérêts composés, une réaction en chaîne : sur une durée où cette approximation est pertinente, on peut supposer une vitesse d’augmentation proportionnelle à la valeur. Un capital à versements d’intérêts périodiques suit d’abord un modèle discret ; l’exponentielle en fournit un prolongement continu, sans confondre taux annuel et coefficient instantané. Plus il y a de bactéries, plus il en naît par heure ; plus le capital est gros, plus il rapporte. Si $f(t)$ désigne la grandeur à l'instant $t$, sa vitesse de variation est le nombre dérivé $f'(t)$, et la situation se traduit par l'égalité $f'(t) = k \times f(t)$, où $k$ est une constante. Le cas le plus simple est $k = 1$ : une fonction égale à sa propre dérivée.

Définition. On appelle fonction exponentielle, et l'on note $\exp$, l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. L'existence d'une telle fonction et son unicité sont admises en première.

Pourquoi la condition $f(0) = 1$ ? Parce que si $f$ est égale à sa dérivée, $2f$ l'est aussi, et $-3f$ également : l'égalité $f' = f$ seule laisse une infinité de fonctions candidates, toutes proportionnelles. Fixer la valeur en $0$ en choisit une seule — celle qui « part de $1$ ». Cette fonction est le modèle de toutes les autres : on montrera que les fonctions vérifiant $f' = kf$ s'écrivent avec elle.

Ce que la définition donne tout de suite. Puisque $\exp' = \exp$, le nombre dérivé de $\exp$ en $0$ vaut $\exp(0) = 1$ : la tangente à la courbe au point $(0\ ;\ 1)$ a pour pente $1$, c'est la droite $y = x + 1$. Et en tout point, la pente de la tangente est égale à l'ordonnée du point — plus la courbe est haute, plus elle monte vite. C'est la traduction géométrique de « la croissance est proportionnelle à la valeur ».

Elle ne s'annule jamais — démonstration. Considérons la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \exp(x) \times \exp(-x)$. La dérivée de $x \mapsto \exp(-x)$ est $-\exp(-x)$ (dérivée de $x \mapsto u(ax + b)$ avec $a = -1$, vue au chapitre sur la dérivation), et la formule du produit donne

Une fonction de dérivée nulle sur $\mathbb{R}$ est constante ; or $g(0) = \exp(0)^2 = 1$. Donc pour tout réel $x$, $\exp(x)\exp(-x) = 1$. Deux conséquences : $\exp(x)$ n'est jamais nul (un produit nul aurait un facteur nul), et

Elle est strictement positive. Elle ne s'annule jamais et vaut $1 > 0$ en $0$. Mieux : elle est positive partout, et la raison tient en une ligne une fois connue la relation fonctionnelle du bloc suivant — $\exp(x) = \exp\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2}\right) = \left(\exp \dfrac{x}{2}\right)^2$ est un carré, donc un nombre positif ou nul ; comme $\exp$ ne s'annule pas, $\exp(x) > 0$ pour tout réel $x$. Retenez le fait, il est central : une exponentielle n'est jamais négative, jamais nulle.

La relation fonctionnelle. C'est la propriété qui fait de l'exponentielle un outil de calcul :

Pour tous réels $a$ et $b$, $\quad \exp(a + b) = \exp(a) \times \exp(b).$

Démonstration par l'unicité. Fixons un réel $a$ et posons $h(x) = \dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)}$, ce qui est licite puisque $\exp(a) \neq 0$. La dérivée de $x \mapsto \exp(a + x)$ est $\exp(a + x)$ (dérivée de $u(x + a)$, avec le coefficient $1$ devant $x$), donc $h'(x) = \dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)} = h(x)$ ; et $h(0) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(a)} = 1$. La fonction $h$ vérifie donc $h' = h$ et $h(0) = 1$ : par unicité, $h = \exp$. Autrement dit, $\exp(a + x) = \exp(a)\exp(x)$ pour tout $x$ — c'est la relation annoncée.

Conséquence immédiate : la positivité. Avec $a = b = \dfrac{x}{2}$, la relation donne $\exp(x) = \left(\exp \dfrac{x}{2}\right)^2 \geqslant 0$ ; comme $\exp$ ne s'annule pas, $\exp(x) > 0$. La positivité annoncée plus haut est démontrée, sans utiliser directement un argument de signe par continuité dans cette étape.

Le nombre $e$ et la notation $e^x$. On note $e = \exp(1)$ ; c'est un nombre irrationnel, $e \approx 2{,}718$. La relation fonctionnelle donne $\exp(2) = \exp(1 + 1) = e \times e = e^2$, puis $\exp(3) = e^3$, et de proche en proche $\exp(n) = e^n$ pour tout entier naturel $n$ ; avec $\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$, la formule s'étend aux entiers négatifs. L'exponentielle prolonge donc aux réels les puissances de $e$ : c'est ce qui justifie la notation $e^x$ pour $\exp(x)$, et c'est pourquoi les règles des puissances entières, vues au collège, restent vraies pour tous les exposants réels :

La relation fonctionnelle exprime un produit. La formule $e^{a+b}=e^a+e^b$ n’est pas une identité générale, même si elle peut coïncider pour certaines valeurs. Contre-exemple immédiat : $e^0 = 1$, alors que $e^1 + e^{-1} \approx 2{,}718 + 0{,}368 = 3{,}086$.

Sens de variation. La dérivée de $\exp$ est $\exp$, strictement positive : l'exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Ce fait a une conséquence d'usage constant, la règle d'identification des exposants :

Pour tous réels $a$ et $b$ : $\quad e^a = e^b \iff a = b \qquad$ et $\qquad e^a < e^b \iff a < b.$

C'est elle qui permet de résoudre $e^{2x + 1} = e^{x - 3}$ sans aucun outil nouveau : les exponentielles sont égales si et seulement si les exposants le sont, et il reste une équation du premier degré. En revanche, une équation comme $e^x = 5$ demande une fonction réciproque, le logarithme, développé dans une autre leçon : dans le parcours présent, on peut l’encadrer sans logarithme : continuité et valeurs de part et d’autre de 5 donnent l’existence, et stricte croissance l’unicité ; la solution est, comprise entre $1$ et $2$ puisque $e^1 \approx 2{,}72 < 5 < e^2 \approx 7{,}39$.

La courbe. Elle passe par $(0\ ;\ 1)$ avec la tangente $y = x + 1$, par $(1\ ;\ e)$, par $(-1\ ;\ 1/e)$ où $1/e \approx 0{,}368$ ; elle est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, monte de plus en plus vite vers la droite, et se rapproche de l'axe des abscisses vers la gauche sans jamais l'atteindre. La formalisation de ces comportements aux infinis attend la terminale.

La fonction $t \mapsto e^{kt}$. C'est la version « à vitesse $k$ » de l'exponentielle. Sa dérivée est

d'après la dérivée de $t \mapsto u(kt)$ : on retrouve l'exponentielle multipliée par le coefficient de l'exposant. Le signe de cette dérivée est celui de $k$ : la fonction est croissante si $k > 0$, décroissante si $k < 0$, constante (égale à $1$) si $k = 0$. Dans tous les cas, elle reste strictement positive et vaut $1$ en $0$. Un modèle $f(t) = A\,e^{kt}$ vérifie $f' = k f$ : sa vitesse de variation est proportionnelle à sa valeur, avec le coefficient $k$ — nous voilà revenus au point de départ de la leçon.

Le lien avec les suites géométriques. Si l'on ne regarde $e^{kt}$ qu'aux instants entiers $t = n$, on obtient la suite $u_n = e^{kn}$, et $u_{n + 1} = e^{k(n + 1)} = e^{kn} \times e^k = u_n \times e^k$ : c'est une suite géométrique de raison $e^k$. L'exponentielle est la version continue de la croissance géométrique — augmenter de $2\,\%$ par an, c'est multiplier par $1{,}02$ chaque année, et il existe un $k$ tel que $e^k = 1{,}02$.

Modèle fictif sur $t\geqslant0$, avec $t$ en heures : $A(t)=100e^{-t/2}$ et $B(t)=100e^{-t}$. On compare les quantités et leurs vitesses de variation, sans prétendre représenter tout phénomène réel de disparition.

Rapport et différence. Les deux valeurs initiales sont 100 et elles restent positives. Leur rapport vaut $A(t)/B(t)=e^{t/2}$ : pour $t>0$, $A(t)>B(t)$. La différence $D(t)=A(t)-B(t)$ est donc positive, mais elle ne croît pas indéfiniment.

Dériver. $D'(t)=-50e^{-t/2}+100e^{-t}=50e^{-t/2}(2e^{-t/2}-1)$. Elle est positive lorsque $e^{-t/2}>1/2$, nulle pour l’unique instant $t_*$ tel que $e^{-t_*/2}=1/2$, puis négative. Cet instant existe par continuité et stricte décroissance ; on peut l’écrire $t_*=2\ln2$ si le logarithme a déjà été introduit. Sinon, le caractère unique et un encadrement numérique suffisent.

Valeur maximale sans arrondir l’instant. En $t_*$, $e^{-t_*}=1/4$. Ainsi $D(t_*)=100(1/2-1/4)=25$. Les valeurs sont 50 et 25. Les dérivées valent alors $A'(t_*)=-25$ et $B'(t_*)=-25$ unités par heure : au maximum de l’écart, les vitesses algébriques sont égales, sans que les quantités soient égales.

Contrôle. En posant $u=e^{-t/2}\in]0;1]$, la différence devient $100u(1-u)=25-100(u-1/2)^2\leqslant25$. Ce second raisonnement confirme le maximum sans dépendre de la valeur décimale de $t_*$.

Figure (SVG programmatique existant) : trois panneaux — la courbe de l'exponentielle avec la propriété qui la définit, l'effet du coefficient $k$, et le pont avec les suites géométriques.

• Panneau 1 — $y = e^x$ et ses tangentes. Repère orthonormé, $x$ de $-3$ à $2{,}2$, $y$ de $-1$ à $8$. La courbe, entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, passe par les points cotés $(-1\ ;\ 0{,}37)$, $(0\ ;\ 1)$, $(1\ ;\ 2{,}72)$ et $(2\ ;\ 7{,}39)$, avec la mention « $e \approx 2{,}718$ » près du point $(1\ ;\ e)$. La tangente en $(0\ ;\ 1)$ est tracée en trait épais : la droite $y = x + 1$, avec un triangle de pente en tirets (une unité à droite, une unité en haut) coté « pente $1 = e^0$ ». Une seconde tangente, plus fine, au point $(1\ ;\ e)$, avec un triangle de pente coté « pente $e \approx 2{,}72$ = l'ordonnée du point ». Cartouche : « en tout point, pente de la tangente = ordonnée : $\exp' = \exp$ ». Vers la gauche, la courbe s'écrase sur l'axe avec la mention « se rapproche de $0$ sans l'atteindre ».
• Panneau 2 — $t \mapsto e^{kt}$ selon $k$. Même repère, trois courbes passant toutes par $(0\ ;\ 1)$ : $e^{0{,}5\,t}$ (croissante, trait plein), $e^{-0{,}5\,t}$ (décroissante, trait tireté), et la droite horizontale $y = 1$ pour $k = 0$ (trait fin). Les deux courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à l'axe des ordonnées. Cartouche : « $k > 0$ : croissante ; $k < 0$ : décroissante ; toujours $> 0$ ». Sous le panneau, la dérivée écrite : « $\left(e^{kt}\right)' = k\,e^{kt}$ ».
• Panneau 3 — du continu au discret. La courbe $y = e^{0{,}5\,t}$ seule, et sur elle des disques pleins aux abscisses entières $t = 0, 1, 2, 3, 4$, d'ordonnées $1$ ; $1{,}65$ ; $2{,}72$ ; $4{,}48$ ; $7{,}39$. Entre deux disques consécutifs, une flèche courbe cotée « $\times\, e^{0{,}5} \approx 1{,}65$ ». Cartouche : « la suite $u_n = e^{0{,}5\,n}$ est géométrique de raison $e^{0{,}5}$ ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 montre la définition en acte : la tangente en $(0\ ;\ 1)$ a pour pente $1$, et chaque tangente a pour pente l'ordonnée de son point — la courbe monte d'autant plus vite qu'elle est haute. Le panneau 2 isole le rôle de $k$ : le signe décide du sens de variation, la valeur absolue de la rapidité, et rien ne peut faire passer la courbe sous l'axe. Le panneau 3 relie la leçon au chapitre des suites : lue aux instants entiers, une exponentielle est une suite géométrique.

La figure en détail : à gauche, une courbe qui monte de plus en plus vite, toujours au-dessus de l'axe horizontal, qu'elle rase vers la gauche sans jamais le toucher ; elle passe par le point d'abscisse zéro et de hauteur un, où une droite épaisse la touche en montant d'une unité par unité (un petit triangle en tirets le montre), et par le point d'abscisse un et de hauteur environ deux virgule soixante-douze, où une seconde droite, plus fine, la touche avec une pente égale à cette hauteur. Au centre, trois courbes qui passent toutes par le point de hauteur un en abscisse zéro : une qui monte, une qui descend, symétrique de la première par rapport à l'axe vertical, et une droite horizontale à la hauteur un. À droite, la courbe montante seule, avec cinq disques aux abscisses entières de zéro à quatre, de hauteurs un ; un virgule soixante-cinq ; deux virgule soixante-douze ; quatre virgule quarante-huit ; sept virgule trente-neuf, et, entre deux disques consécutifs, une flèche courbe indiquant que chaque hauteur vaut environ un virgule soixante-cinq fois la précédente.