Dérivabilité complexe et équations de Cauchy-Riemann

Une fonction $f$ est holomorphe sur un ouvert du plan complexe si elle possède une dérivée complexe en chacun de ses points. La limite $(f(z+h)-f(z))/h$ doit être la même lorsque $h$ tend vers zéro dans toutes les directions complexes. Cette exigence est plus forte que la dérivabilité réelle des deux composantes.

Écrivez $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$. La dérivabilité complexe impose $u_x=v_y$ et $u_y=-v_x$. Lorsque les dérivées partielles sont continues dans un voisinage, ces équations y donnent une condition suffisante d'holomorphie. Vérifier les équations en un point sans hypothèses de régularité ne suffit pas à annoncer l'holomorphie sur un ouvert.

Pour $f(z)=z^2$, $u=x^2-y^2$ et $v=2xy$. Les dérivées vérifient $u_x=2x=v_y$ et $u_y=-2y=-v_x$ partout ; elles sont continues. La fonction est holomorphe sur $\mathbb C$ et $f'(z)=2z$. Pour $g(z)=\overline z$, $u=x$, $v=-y$ : $u_x=1$ et $v_y=-1$, donc la première équation échoue partout. Une application réelle très régulière n'est donc pas nécessairement holomorphe.

La figure affiche u et v pour z², résume les deux égalités de Cauchy-Riemann puis montre l'échec de la première égalité pour la conjugaison. Les quatre dérivées partielles ne sont pas disposées en colonnes. Recalculez-les dans l'exemple pour comprendre le signe de la seconde égalité.