Fonctions hyperboliques ch, sh, th

Toute fonction définie sur $\mathbb{R}$ s'écrit de façon unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Appliquée à l'exponentielle, cette décomposition donne deux fonctions qui reviennent sans cesse en analyse et en physique.

Définitions. Pour tout réel $x$,

On lit aussitôt : $\operatorname{ch} x + \operatorname{sh} x = e^{x}$, $\operatorname{ch}$ est paire, $\operatorname{sh}$ et $\operatorname{th}$ sont impaires, $\operatorname{ch} 0 = 1$, $\operatorname{sh} 0 = 0$, et $\operatorname{ch} x \ge 1 > 0$ pour tout $x$, ce qui rend $\operatorname{th}$ définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

La relation fondamentale. Pour tout réel $x$,

Preuve en une ligne : $(\operatorname{ch} x - \operatorname{sh} x)(\operatorname{ch} x + \operatorname{sh} x) = e^{-x} \times e^{x} = 1$. C'est une différence de carrés, et non une somme comme pour $\cos^{2} + \sin^{2} = 1$ : le point $(\operatorname{ch} t, \operatorname{sh} t)$ parcourt une branche d'hyperbole $X^{2} - Y^{2} = 1$, pas un cercle — d'où le nom.

Dérivées. Comme $(e^{-x})' = -e^{-x}$ :

Aucun signe moins, contrairement à $\cos' = -\sin$. Conséquences : $\operatorname{sh}' = \operatorname{ch} > 0$, donc $\operatorname{sh}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; $\operatorname{ch}' = \operatorname{sh}$ est du signe de $x$, donc $\operatorname{ch}$ décroît sur $]-\infty\,;\,0]$, croît sur $[0\,;\,+\infty[$, minimum $1$ en $0$ ; $\operatorname{th}$ est strictement croissante.

Comportement à l'infini. Quand $x \to +\infty$, $e^{-x} \to 0$, donc $\operatorname{ch} x$ et $\operatorname{sh} x$ sont tous deux équivalents à $\dfrac{e^{x}}{2}$ et tendent vers $+\infty$ ; leur différence $e^{-x}$ tend vers $0$. Et $\operatorname{th} x \to 1$ : la droite $y = 1$ est asymptote horizontale (et $y = -1$ en $-\infty$). Ces fonctions ne sont pas périodiques : ce sont des combinaisons d'exponentielles réelles, sans aucune oscillation.

Argument sinus hyperbolique. $\operatorname{sh}$ est une bijection continue strictement croissante de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ ; sa réciproque est notée $\operatorname{argsh}$. Pour l'exprimer, on résout $\operatorname{sh} x = s$ en posant $X = e^{x} > 0$ :

Le produit des racines vaut $-1$ : une seule est positive, $X = s + \sqrt{s^{2} + 1}$. Donc

Argument cosinus hyperbolique. $\operatorname{ch}$ n'est pas injective sur $\mathbb{R}$ (elle est paire). Restreinte à $[0\,;\,+\infty[$, c'est une bijection sur $[1\,;\,+\infty[$, dont la réciproque est

L'équation $\operatorname{ch} x = k$ avec $k > 1$ a deux solutions opposées ; $\operatorname{argch} k$ est la positive. Pour $k < 1$, elle n'en a aucune.

Argument tangente hyperbolique. $\operatorname{th}$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur l'intervalle ouvert $]-1\,;\,1[$ ; sa réciproque n'est définie que là :

On l'obtient en résolvant $\dfrac{X^{2} - 1}{X^{2} + 1} = t$ en $X^{2} = e^{2x}$. Le signe de $\operatorname{argth} t$ est celui de $t$, et $\operatorname{argth} t \to \pm\infty$ quand $t \to \pm 1$.

Dérivées des réciproques. Par la formule de la réciproque :

Ce sont les primitives qui expliquent la place du chapitre : une primitive de $\dfrac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ est $\ln\left(x + \sqrt{1 + x^{2}}\right)$, ce qui ne se devine pas sans les fonctions hyperboliques.

Valeurs exactes. En un point de la forme $\ln a$ ($a > 0$), tout se calcule par fractions, puisque $e^{\ln a} = a$ et $e^{-\ln a} = \dfrac{1}{a}$ : $\operatorname{ch}(\ln 4) = \dfrac{4 + \frac{1}{4}}{2} = \dfrac{17}{8}$, $\operatorname{sh}(\ln 4) = \dfrac{4 - \frac{1}{4}}{2} = \dfrac{15}{8}$, $\operatorname{th}(\ln 4) = \dfrac{15}{17}$. Et la relation fondamentale se contrôle : $\dfrac{289}{64} - \dfrac{225}{64} = 1$. $\checkmark$

Énoncé. On sait que $\operatorname{sh} x = \dfrac{5}{12}$.

1. Calculer $\operatorname{ch} x$ et $\operatorname{th} x$.
2. Déterminer $x$ sous forme exacte, puis une valeur approchée à trois chiffres significatifs.
3. Vérifier le résultat par $\operatorname{argch}$ et par $\operatorname{argth}$.

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1. La relation fondamentale. $\operatorname{ch}^{2} x = 1 + \operatorname{sh}^{2} x = 1 + \dfrac{25}{144} = \dfrac{169}{144}$. Comme $\operatorname{ch} x > 0$ pour tout $x$, on prend la racine positive :

L'erreur classique — écrire $\operatorname{ch}^{2} x = 1 - \operatorname{sh}^{2} x$ par analogie avec la trigonométrie — donnerait $\sqrt{119}/12 < 1$, impossible pour un cosinus hyperbolique.

2. L'équation en $X = e^{x}$. $\operatorname{sh} x = \dfrac{5}{12}$ s'écrit $X^{2} - \dfrac{5}{6}X - 1 = 0$. Discriminant : $\dfrac{25}{36} + 4 = \dfrac{169}{36}$, racines $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{6} \pm \dfrac{13}{6}\right)$, soit $\dfrac{3}{2}$ et $-\dfrac{2}{3}$. Seule la positive convient : $e^{x} = \dfrac{3}{2}$, donc

C'est bien $\ln\left(s + \sqrt{s^{2} + 1}\right) = \ln\left(\dfrac{5}{12} + \dfrac{13}{12}\right) = \ln\dfrac{18}{12}$. Contrôle direct : $\operatorname{sh}\left(\ln\frac{3}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{12}$. $\checkmark$

3. Deux autres chemins. $x > 0$ (car $\operatorname{sh} x > 0$), donc $x = \operatorname{argch}\dfrac{13}{12} = \ln\left(\dfrac{13}{12} + \sqrt{\dfrac{169}{144} - 1}\right) = \ln\left(\dfrac{13}{12} + \dfrac{5}{12}\right) = \ln\dfrac{3}{2}$. Et $\dfrac{5}{13} \in \left]-1\,;\,1\right[$, donc $x = \operatorname{argth}\dfrac{5}{13} = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{18/13}{8/13} = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{9}{4} = \ln\dfrac{3}{2}$. Les trois réciproques donnent la même valeur. $\checkmark$

Lecture. Une seule donnée suffit pour tout le reste, par la relation fondamentale (avec son signe moins) et par la positivité de $\operatorname{ch}$. Les réciproques s'obtiennent toutes par une équation du second degré en $e^{x}$, dont on garde la racine positive.

Figure (fig.math.exponential-curve, figure programmatique de la leçon de terminale sur l'exponentielle, réutilisée ici parce que son deuxième panneau contient exactement les deux ingrédients de $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$) : trois panneaux. Le premier trace $y = e^{x}$ et ses tangentes ; le deuxième trace $e^{0{,}5\,t}$ (croissante) et $e^{-0{,}5\,t}$ (décroissante), symétriques l'une de l'autre par rapport à l'axe des ordonnées et passant toutes deux par $(0\,;\,1)$ ; le troisième lit l'exponentielle aux instants entiers.

Pour cette leçon, regardez le panneau 2 en remplaçant $0{,}5\,t$ par $x$.

• La demi-somme des deux courbes est $\operatorname{ch} x$. En chaque abscisse, prenez le milieu vertical des deux courbes : il vaut $1$ en $0$ (les deux courbes s'y croisent), puis remonte des deux côtés. La symétrie des deux courbes par rapport à l'axe vertical est la parité de $\operatorname{ch}$.
• La demi-différence (croissante moins décroissante) est $\operatorname{sh} x$ : nulle en $0$, négative à gauche, positive à droite — impaire.
• À droite, la courbe décroissante s'écrase sur l'axe : $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$ deviennent toutes deux « la moitié de la courbe croissante », ce qui est l'équivalent $\operatorname{ch} x \sim \operatorname{sh} x \sim \dfrac{e^{x}}{2}$. Numériquement, $\operatorname{ch} 4 \approx 27{,}308$ contre $\dfrac{e^{4}}{2} \approx 27{,}299$ : l'écart, $\dfrac{e^{-4}}{2} \approx 0{,}009$, est la demi-hauteur de la courbe décroissante.
• Le panneau 1 rappelle $\exp' = \exp$ ; appliqué aux deux morceaux, il donne $\operatorname{ch}' = \operatorname{sh}$ et $\operatorname{sh}' = \operatorname{ch}$ sans signe moins.

Ce que la figure ne montre pas : les courbes de $\operatorname{ch}$, $\operatorname{sh}$ et $\operatorname{th}$ elles-mêmes, l'asymptote $y = 1$ de $\operatorname{th}$, et l'hyperbole $X^{2} - Y^{2} = 1$ parcourue par $(\operatorname{ch} t, \operatorname{sh} t)$. Il faut se les représenter à partir de cette construction.