Fonctions trigonométriques réciproques

Les fonctions trigonométriques ne sont pas injectives sur toute la droite. On restreint leur domaine pour définir des réciproques : arcsin sur les valeurs de sinus obtenues dans $[-\pi/2,\pi/2]$, arccos pour cosinus sur $[0,\pi]$, arctan pour tangente sur $]-\pi/2,\pi/2[$. La branche choisie fixe la valeur et le signe des dérivées.

Arcsin et arccos sont définies sur $[-1,1]$ et dérivables à l'intérieur ; arctan est définie et dérivable sur $\mathbb R$. La formule de dérivation d'une réciproque provient de $f(f^{-1}(x))=x$ lorsque la dérivée de $f$ est non nulle. Pour une composée, multipliez par la dérivée de l'argument, sans oublier son domaine.

Pour $g(x)=\arctan(2x)$, la dérivée vaut $2/(1+4x^2)$. En $x=1/2$, elle vaut 1. Pour $h(x)=\arcsin(x)$, $h'=1/\sqrt{1-x^2}$ sur $]-1,1[$ seulement : la formule diverge aux extrémités. Enfin $\arcsin(\sin(3\pi/4))=\pi/4$, pas $3\pi/4$, car la valeur doit appartenir à la branche principale.

Le tableau rapproche chaque réciproque de son domaine et de sa branche image. La ligne arctan illustre ensuite le facteur 2 apporté par la composition. La distinction branche/domaine évite de transformer une identité locale en identité globale.