Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques

Le produit scalaire de $\mathbb{R}^{n}$ a trois propriétés : il est linéaire en chaque variable, symétrique, et $u \cdot u > 0$ pour $u \ne 0$. Ce chapitre garde les deux premières et abandonne la troisième. Ce qu'on obtient sert partout : énergie cinétique, matrice hessienne, coniques et quadriques, relativité restreinte.

Forme bilinéaire symétrique. Sur un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie, une forme bilinéaire est une application $\varphi : E \times E \to \mathbb{R}$ linéaire en la première variable et en la seconde. Elle est symétrique si $\varphi(u, v) = \varphi(v, u)$.

Forme quadratique. La forme quadratique associée est $q(u) = \varphi(u, u)$. Elle n'est pas linéaire :

Le terme $2\,\varphi(u, v)$ — le « double produit » — est exactement ce que $q$ ne voit pas séparément.

Forme polaire. Réciproquement, $\varphi$ se retrouve à partir de $q$ par l'identité de polarisation :

La forme bilinéaire symétrique $\varphi$ ainsi déterminée par $q$ s'appelle la forme polaire de $q$. Le facteur $\dfrac{1}{2}$ n'est pas décoratif : $q(u + v) - q(u) - q(v)$ vaut $2\varphi(u, v)$, le double.

En coordonnées. Dans $\mathbb{R}^{n}$, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré $2$ :

Sa matrice dans la base canonique est la matrice symétrique $M$ telle que $q(X) = X^{\top} M X$ et $\varphi(X, Y) = X^{\top} M Y$. Sur la diagonale, les coefficients des carrés : $m_{ii} = a_i$. Hors de la diagonale, la moitié du coefficient du terme rectangle : $m_{ij} = m_{ji} = \dfrac{b_{ij}}{2}$. Le terme $b_{ij}\,x_i x_j$ se partage en deux parts égales, l'une en place $(i, j)$, l'autre en place $(j, i)$, parce que la matrice doit être symétrique.

Exemple : $q(x, y, z) = x^{2} + 3y^{2} - z^{2} + xy + 4yz$ a pour matrice

Le $1$ devant $xy$ devient deux $\dfrac{1}{2}$ ; le $4$ devant $yz$ devient deux $2$ ; l'absence de terme en $xz$ donne deux zéros.

Changement de base. Si $P$ est la matrice de passage d'une base à une autre ($X = PX'$), alors $q(X) = X'^{\top}(P^{\top} M P)\,X'$ : la nouvelle matrice est

On dit que $M$ et $M'$ sont congruentes — ce n'est pas la similitude $P^{-1}MP$ des endomorphismes. Le rang est invariant (on multiplie par des matrices inversibles), de même que le signe du déterminant, puisque $\det M' = (\det P)^{2} \det M$. La trace et les valeurs propres, elles, ne le sont pas en général.

Noyau et dégénérescence. Le noyau de $q$ est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tout l'espace :

C'est un sous-espace vectoriel. La forme est non dégénérée si son noyau est réduit à $\{0\}$, c'est-à-dire si $\det M \ne 0$ ; sinon elle est dégénérée, et $\mathrm{rang}\,q = n - \dim \ker q$.

Vecteurs isotropes. Un vecteur $u$ est isotrope si $q(u) = 0$. L'ensemble des vecteurs isotropes est le cône isotrope : il est stable par multiplication par un réel ($q(\lambda u) = \lambda^{2} q(u)$), mais pas par addition en général. Il contient toujours le noyau ; il peut être bien plus gros.

Deux exemples dans $\mathbb{R}^{2}$ fixent la différence :

• $q_1(x, y) = x^{2} - y^{2}$, matrice $\mathrm{diag}(1, -1)$, déterminant $-1$ : non dégénérée, noyau $\{0\}$. Mais $q_1(1, 1) = q_1(1, -1) = 0$ : le cône isotrope est la réunion des deux droites $y = x$ et $y = -x$. Ce n'est pas un sous-espace : $(1, 1) + (1, -1) = (2, 0)$ et $q_1(2, 0) = 4$.
• $q_2(x, y) = (x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$, matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, déterminant nul : dégénérée, de rang $1$, de noyau la droite $y = -x$, qui est aussi son cône isotrope.

Définie, positive. Une forme est positive si $q(u) \ge 0$ pour tout $u$, définie si $q(u) = 0$ entraîne $u = 0$ (cône isotrope réduit à $\{0\}$). Un produit scalaire est exactement une forme bilinéaire symétrique définie positive. Une forme quadratique non nulle peut donc très bien s'annuler en des vecteurs non nuls : c'est le cas de toute forme qui n'est pas définie — en particulier de toute forme qui prend des valeurs des deux signes.

Énoncé. Sur $\mathbb{R}^{3}$, soit $q(x, y, z) = x^{2} + 3y^{2} - z^{2} + xy + 4yz$, et soit $\varphi$ sa forme polaire. On pose $u = (1, 0, 1)$ et $v = (0, 1, 2)$.

1. Écrire la matrice $M$ de $q$ dans la base canonique.
2. Calculer $\varphi(u, v)$ de deux façons.
3. Calculer $\det M$ ; $q$ est-elle dégénérée ? Que dire de $u$ ?

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1. Matrice. Diagonale : $1$, $3$, $-1$ (coefficients de $x^{2}$, $y^{2}$, $z^{2}$). Hors diagonale : la moitié des coefficients rectangles, $m_{12} = \dfrac{1}{2}$, $m_{23} = 2$, $m_{13} = 0$.

2a. Par polarisation. $q(u) = 1 + 0 - 1 + 0 + 0 = 0$ ; $q(v) = 0 + 3 - 4 + 0 + 8 = 7$ ; $u + v = (1, 1, 3)$ et $q(u + v) = 1 + 3 - 9 + 1 + 12 = 8$. Donc

Sans le facteur $\dfrac{1}{2}$, on trouverait $1$ : le double.

2b. Par la matrice. $MV = \begin{pmatrix} 0 + \frac{1}{2} + 0 \\ 0 + 3 + 4 \\ 0 + 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}$, puis $U^{\top}(MV) = 1 \times \dfrac{1}{2} + 0 \times 7 + 1 \times 0 = \dfrac{1}{2}$. $\checkmark$ Les deux méthodes concordent ; celle par la matrice échoue si l'on a reporté $1$ au lieu de $\dfrac{1}{2}$ en place $(1, 2)$.

3. Déterminant. Développement selon la première ligne :

Il est non nul : $q$ est non dégénérée, son noyau est $\{0\}$ et son rang vaut $3$. Pourtant $q(u) = 0$ avec $u \ne 0$ : $u$ est isotrope. Un vecteur isotrope non nul n'est donc pas dans le noyau — on le vérifie : $\varphi(u, v) = \dfrac{1}{2} \ne 0$, donc $u$ n'est pas orthogonal à tout l'espace.

Lecture. La matrice se lit sur le polynôme avec un seul piège, la moitié hors diagonale ; la forme polaire se calcule par la matrice ou par polarisation, et les deux voies se contrôlent l'une l'autre.

Figure (fig.math.dot-product-projection, figure programmatique de la leçon de première sur le produit scalaire, réutilisée ici parce que le produit scalaire est la forme bilinéaire symétrique de référence) : trois panneaux — la projection et le signe du produit scalaire ; un triangle en coordonnées où trois calculs donnent $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 7$ ; la formule d'Al-Kashi.

Pour cette leçon :

• Panneau 2. Le calcul $4 \times 1 + 1 \times 3 = 7$ est $X^{\top} I_2\, Y$ : le produit scalaire usuel est la forme bilinéaire de matrice identité, donc de forme quadratique $q(x, y) = x^{2} + y^{2}$, la norme au carré. Elle est définie positive : son cône isotrope est réduit à $\{0\}$, contrairement à $x^{2} - y^{2}$.
• Panneau 3. La formule d'Al-Kashi, $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2\,AB \times AC \cos \widehat{A}$, s'écrit avec $u = \vec{AB}$ et $v = \vec{AC}$ : $q(v - u) = q(u) + q(v) - 2\,\varphi(u, v)$. C'est l'identité de polarisation, lue dans l'autre sens. Le terme encadré, « nul si l'angle est droit », est le double produit : il disparaît exactement quand $\varphi(u, v) = 0$.
• Panneau 1. Le signe du produit scalaire dépend de l'angle ; pour une forme non positive, c'est le signe de $q(u)$ lui-même qui peut changer d'un vecteur à l'autre.

Ce que la figure ne montre pas : une forme non positive. Pour $x^{2} - y^{2}$, il faudrait dessiner les deux droites isotropes $y = \pm x$, de part et d'autre desquelles $q$ change de signe — ce qu'aucun produit scalaire ne fait.