Produits vectoriel et mixte dans l’espace

Dans un repère orthonormé direct de l'espace euclidien, le produit vectoriel $u\times v$ est orthogonal à $u$ et à $v$, avec un sens fixé par l'orientation. Sa norme vaut l'aire du parallélogramme engendré. Le produit mixte $u\cdot(v\times w)$ est le déterminant des trois vecteurs et mesure un volume orienté.

La valeur absolue du produit mixte est le volume du parallélépipède. Le volume du tétraèdre formé par les trois vecteurs issus d'un même sommet est six fois plus petit. Un produit mixte nul caractérise la coplanarité des trois vecteurs ; un produit vectoriel nul caractérise leur colinéarité pour la paire concernée.

Prenez $u=(1,0,0)$, $v=(1,2,0)$ et $w=(0,1,3)$. Le produit $v\times w=(6,-3,1)$. Son produit scalaire avec $u$ vaut 6. Le parallélépipède a donc volume 6 et le tétraèdre volume 1. Si les coordonnées sont des longueurs en mètres, les volumes sont en mètres cubes ; si ce sont des vecteurs abstraits, ces nombres restent des mesures dans l'unité de la base.

Le tableau distingue les trois objets : vecteur normal, scalaire orienté et volume positif. Permuter deux vecteurs change le signe du produit mixte mais pas le volume ; le facteur $1/6$ dépend de la forme géométrique mesurée.