Hasard, équiprobabilité et fréquences observées

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît des résultats possibles, sans pouvoir prévoir avec certitude celui qui sera obtenu. Un lancer de dé équilibré peut donner les nombres de 1 à 6. Chaque résultat possible est une issue. Un événement rassemble une ou plusieurs issues, comme obtenir un nombre pair : 2, 4 ou 6.

Un événement impossible ne peut pas se produire dans le modèle choisi ; sa probabilité vaut 0. Un événement certain se produit à chaque réalisation ; sa probabilité vaut 1. Les autres probabilités se situent entre ces deux valeurs. Dire « une chance sur quatre » correspond à la fraction 1/4, au nombre 0,25 ou à 25 %.

Le modèle doit être explicite. Un dé équilibré donne la même probabilité aux six faces ; une roue partagée en secteurs d’angles différents ne donne pas automatiquement la même chance à toutes ses couleurs.

Lorsque les issues élémentaires sont équiprobables, la probabilité d’un événement est le nombre d’issues favorables divisé par le nombre total d’issues. Pour un sac, on peut choisir comme issues les jetons individuels, même si plusieurs ont la même couleur. On ne compte pas seulement le nombre de couleurs.

Dans un sac contenant trois jetons rouges et sept bleus, tous identiques au toucher et bien mélangés, la probabilité de rouge est 3/10. Les dix jetons sont équiprobables, mais les deux couleurs ne le sont pas. Une hypothèse d’équiprobabilité repose sur le dispositif et le modèle ; elle n’est pas démontrée par une courte série d’essais.

Avec remise et nouveau mélange, la composition du sac reste la même à chaque tirage. Sans remise, elle change : il faut alors préciser ce qui a été retiré. Ne transfère donc pas une conclusion d’un protocole à l’autre.

Un sac contient 4 jetons rouges, 5 bleus et 1 vert, tous équiprobables. La probabilité de rouge vaut 4/10 = 0,4 ; celle de bleu 5/10 = 0,5 ; celle de vert 1/10 = 0,1. La somme vaut 1. L’événement « ne pas tirer rouge » rassemble les six autres jetons : sa probabilité vaut 6/10 = 0,6.

On effectue ensuite 20 tirages avec remise, dans une série fictive, et on observe 11 rouges. La fréquence observée est 11/20 = 0,55. Elle est différente de 0,4, mais ne change pas rétroactivement la composition du sac. Une fluctuation est possible dans une série finie.

Pour comparer des essais, on peut noter les résultats dans l’ordre puis construire un tableau d’effectifs. La probabilité décrit le modèle ; la fréquence décrit les observations effectivement obtenues.

La figure dessine dix jetons, dont quatre sont marqués R, cinq B et un V. Les lettres rendent la distinction lisible sans dépendre uniquement de la couleur. Chaque jeton occupe une place dans le décompte : l’ensemble rouge comprend quatre issues élémentaires, pas une seule parce qu’il n’a qu’une couleur.

Place sur une droite allant de 0 à 1 les probabilités 0,1 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6. Puis écris une situation impossible et une situation certaine pour ce même sac. Tirer un jeton jaune est impossible dans ce modèle ; tirer un jeton rouge, bleu ou vert est certain. Ces conclusions supposent que la description du contenu est complète.