Intégrales impropres et critères de convergence

Une intégrale devient impropre lorsqu'une borne est infinie ou que la fonction n'est pas intégrable au sens ordinaire près d'une borne. Par exemple $\int_a^{+\infty}f$ désigne la limite de $\int_a^Rf$ lorsque $R\to+\infty$, si elle existe et est finie. Le symbole infini n'est pas une valeur à remplacer dans une primitive.

Les intégrales de référence sont $\int_1^{+\infty}x^{-p}dx$, convergente si et seulement si $p>1$, et $\int_0^1x^{-p}dx$, convergente si et seulement si $p<1$. Pour une fonction de signe fixé, comparaisons et équivalents positifs transfèrent la convergence. Une convergence absolue implique la convergence, mais la réciproque n'est pas générale.

Étudiez $\int_2^{+\infty}x^{-3}dx$. Pour $R>2$, une primitive donne $[-1/(2x^2)]_2^R=1/8-1/(2R^2)$. La limite est $1/8$. Pour $1/x$, la primitive logarithmique donne $\ln R-\ln2$, qui diverge vers l'infini. La petite taille des valeurs $1/x$ à l'infini ne suffit donc pas : leur accumulation conserve une aire infinie.

Le tableau présente l'intégrale tronquée avant sa limite. La quantité $1/(2R^2)$ est l'erreur de troncature dans le premier exemple. Passer à une limite finie est exactement la condition qui transforme l'expression impropre en intégrale convergente.