Intégrer une fonction continue sur un segment

L'intégrale d'une fonction continue sur $[a,b]$ est la limite de sommes d'aires algébriques de rectangles lorsque le pas tend vers zéro. Elle tient compte du signe de la fonction : les contributions sous l'axe sont négatives. Pour $a\le b$, une fonction positive a une intégrale positive ; une aire géométrique exige de traiter les changements de signe.

Si $F'=f$ sur le segment, le théorème fondamental donne $\int_a^b f=F(b)-F(a)$. Deux primitives diffèrent d'une constante, qui disparaît dans cette différence. Linéarité, relation de Chasles et positivité permettent de combiner des intégrales ou d'en établir des bornes sans trouver une primitive explicite.

Calculez $\int_0^2(3x^2-2x+1)\,dx$. Une primitive est $F(x)=x^3-x^2+x$. La différence vaut $(8-4+2)-0=6$. Vérifiez en dérivant : $F'=3x^2-2x+1$. La fonction s'écrit $3(x-1/3)^2+2/3>0$ ; le signe positif du résultat est cohérent. Sa valeur moyenne sur $[0,2]$ est $6/2=3$, et non $6$.

Le tableau distingue intégrande, primitive et valeur définie. Les deux premières sont des fonctions ; la dernière est un nombre. Le passage de la primitive au nombre utilise les deux bornes et leur ordre. Inverser les bornes donne $-6$ sans modifier la primitive.