La médiatrice : des points à égale distance

Deux villages A et B souhaitent placer un point de rencontre aussi loin de l’un que de l’autre, en distance à vol d’oiseau. Le milieu de AB convient, mais ce n’est pas le seul point possible. Tous les points à égale distance des deux villages forment une droite : la médiatrice de AB.

Sa définition réunit deux conditions : elle est perpendiculaire à la droite AB et passe par le milieu du segment AB. Une droite passant seulement par le milieu n’est généralement pas la médiatrice.

Si P appartient à la médiatrice, alors PA = PB. Réciproquement, si PA = PB, alors P appartient à la médiatrice. Cette propriété permet de reconnaître un point sans mesurer un angle droit.

Pour construire la médiatrice au compas, choisis une ouverture supérieure à la moitié de AB. Trace deux arcs de ce même rayon centrés en A et en B, afin d’obtenir deux intersections distinctes P et Q, de part et d’autre de AB. Trace PQ. P et Q sont chacun à égale distance de A et de B : leur droite est donc la médiatrice.

Une autre méthode consiste à construire le milieu I, puis la perpendiculaire à AB passant par I avec l’équerre.

P appartient à la médiatrice de AB et PA + PB vaut 13 cm. Comme PA = PB, chacune des distances vaut 13 ÷ 2 = 6,5 cm. On contrôle : 6,5 + 6,5 = 13.

Peut-on en déduire que P est le milieu de AB ? Non. Pour être le milieu, P devrait aussi appartenir au segment AB. La propriété d’équidistance ne donne pas cet alignement.

Si I est l’intersection de la médiatrice avec AB, alors I est bien le milieu. Par exemple, AI = 4 cm impose IB = 4 cm et AB = 8 cm.

A et B sont séparés horizontalement. Les deux cercles ont exactement le même rayon : leurs intersections P et Q sont équidistantes de A et de B. La droite verticale PQ passe par I, milieu de AB, et le petit carré code l’angle droit.

Les quatre segments AP, BP, AQ et BQ ont la même longueur. Le dessin permet de relier la construction au compas à la propriété d’équidistance. Il ne suffit pas de tracer une droite qui « semble au milieu » : le raisonnement repose sur les rayons égaux des cercles.