Le demi-tour et la symétrie centrale

Une symétrie centrale est un demi-tour autour d’un point fixe appelé centre. Imagine un calque sur lequel une figure est dessinée. Pique-le au point O et fais-le tourner de 180 degrés : la nouvelle position est l’image de la figure. Le demi-tour ne change ni la taille ni la forme.

Pour un point A différent de O, son image A′ se trouve sur la droite (AO), de l’autre côté de O, à la même distance du centre. Autrement dit, O est le milieu de [AA′]. Le centre est sa propre image. Cette définition suffit à construire l’image de tout point, même lorsqu’il n’y a pas de quadrillage.

Le mot symétrie ne désigne donc pas toujours un pliage. Dans une symétrie axiale, une droite joue le rôle de miroir ; dans une symétrie centrale, un point joue le rôle de pivot. Les deux transformations ne se construisent pas de la même façon.

Un demi-tour conserve les longueurs, les angles, les alignements, les aires et les périmètres. L’image d’un segment relie les images de ses extrémités. L’image d’un cercle est un cercle de même rayon, centré à l’image de son centre. Une droite qui passe par O est envoyée sur elle-même ; une droite qui n’y passe pas a pour image une droite parallèle.

Effectuer deux fois le même demi-tour ramène chaque point à sa position de départ. On peut donc aussi bien dire que A′ est l’image de A que A est l’image de A′. Cette réciprocité offre un contrôle de construction.

Une figure possède un centre de symétrie lorsque le demi-tour la superpose à elle-même, dans son ensemble. Ce n’est pas parce qu’un seul sommet retrouve un autre sommet que la figure entière possède ce centre. Les côtés, courbes et détails doivent également se correspondre.

Sur une droite graduée, O a pour abscisse 2 et A pour abscisse 7. A se trouve cinq unités à droite de O. A′ doit donc se trouver cinq unités à gauche : son abscisse est 2 − 5 = −3. Contrôle : la longueur AA′ vaut dix unités et O partage bien ce segment en deux parties de cinq unités.

Pour construire l’image d’un triangle ABC sur papier, construis séparément A′, B′ et C′. Trace (AO), puis reporte OA de l’autre côté de O ; recommence pour B et C. Relie enfin les trois images dans le même ordre. Ne déplace pas le centre entre deux constructions.

Si AB mesure 4 cm et BC mesure 6 cm, alors A′B′ mesure 4 cm et B′C′ mesure 6 cm. La distance AA′, elle, dépend de la position du centre et n’est pas une longueur de côté conservée.

Dans la figure, A et A′ sont alignés avec O ; deux marques identiques indiquent OA = OA′. Le centre se trouve entre le point et son image. Le dessin illustre la définition, mais une vérification au compas est nécessaire pour une construction précise.

Sur quadrillage, choisis un centre situé sur une intersection, puis un point placé trois carreaux à droite et deux au-dessus. Son image sera trois carreaux à gauche et deux en dessous. Refaites l’activité avec un centre qui n’est pas l’origine d’un repère : les déplacements se lisent toujours depuis le centre choisi, pas depuis un coin de la feuille.