Des unités aux milliards : lire et grouper

Dix unités forment une dizaine, dix dizaines une centaine et dix centaines un millier. Cette organisation se poursuit : mille milliers font un million ; mille millions font un milliard. Chaque déplacement d’un rang vers la gauche multiplie la valeur d’un chiffre par dix.

Dans 2 305 040 018, les espaces séparent les classes : milliards | millions | milliers | unités. On lit « deux milliards trois cent cinq millions quarante mille dix-huit ». Le zéro garde un rang vide ; il ne permet pas de supprimer la classe. En particulier, 040 milliers représentent quarante milliers, soit 40 000 unités.

Le chiffre 3 représente ici 300 000 000. Il n’est ni la classe des millions (305), ni le nombre total de millions complets (2 305). Pour compter les millions complets, on inclut les 2 000 millions contenus dans les deux milliards.

La décomposition par classes donne $2\ 305\ 040\ 018=2\times1\ 000\ 000\ 000+305\times1\ 000\ 000+40\times1\ 000+18$. Par rangs, on peut encore décomposer 305 millions en 300 millions et 5 millions.

Encadrer au million consiste à repérer les deux multiples consécutifs de 1 000 000 autour du nombre : $2\ 305\ 000\ 000<2\ 305\ 040\ 018<2\ 306\ 000\ 000$. L’écart entre ces bornes vaut un million. Ce n’est pas choisir deux nombres quelconques plus petit et plus grand.

Un entier est un multiple d’un entier non nul s’il s’obtient en le multipliant par un entier. Dire que 24 est un multiple de 6 revient à dire que 6 est un diviseur de 24 : $24=6\times4$. En revanche $26=6\times4+2$ laisse un reste, donc 6 ne divise pas 26. On peut toujours vérifier par une division euclidienne. Les critères de divisibilité par 2, 5 et 10 portent sur le dernier chiffre ; ceux par 3 et 9 sur la somme des chiffres. Par exemple 4 032 est divisible par 9 car $4+0+3+2=9$.

Écris « six milliards huit millions trente-deux mille cinq ». Place d’abord les quatre classes : 6 | 008 | 032 | 005. En chiffres : 6 008 032 005. Les classes intermédiaires ont trois chiffres, y compris les zéros nécessaires.

Il contient 6 008 millions complets et 6 008 032 milliers complets. Le chiffre des millions est 8 ; le nombre de millions complets est bien plus grand. Au milliard : $6\ 000\ 000\ 000<6\ 008\ 032\ 005<7\ 000\ 000\ 000$.

Pour une collection de 84 cartes, des paquets de 6 sont possibles sans reste : $84=6\times14$. Des paquets de 5 laissent quatre cartes : $84=5\times16+4$. Expliquer ce reste permet de décider si un regroupement est possible, sans confondre les deux rôles de 84 et de 6.

La figure regroupe 2 305 040 018 en quatre classes. Les trois positions de chaque classe restent présentes, même lorsqu’un chiffre est nul. La seconde ligne distingue 305 millions dans la classe et 2 305 millions complets dans le nombre. Masque le nombre, dicte-le, puis demande à un camarade de le réécrire et de justifier les zéros.