Sommes indépendantes et convolution

Pour deux variables discrètes indépendantes $X$ et $Y$, la loi de $S=X+Y$ s'obtient en additionnant les probabilités des couples donnant la même somme. L'indépendance permet de multiplier les masses : $P(S=s)=\sum_kP(X=k)P(Y=s-k)$. Cette opération est la convolution des deux lois.

Les espérances s'additionnent sans hypothèse d'indépendance si elles existent ; les variances s'additionnent sous indépendance, ou plus généralement covariance nulle. La forme de la loi de la somme dépend des combinaisons possibles : deux uniformes ne donnent pas en général une uniforme sur toutes les sommes.

Supposez $X$ uniforme sur $\{1,2,3\}$ et $Y$ uniforme sur $\{1,2,3,4\}$, indépendantes. Les douze couples sont équiprobables. La somme 5 provient de $(1,4),(2,3),(3,2)$, donc sa probabilité vaut $3/12=1/4$. La somme 2 n'a qu'un couple, soit une probabilité $1/12$. Les effectifs des sommes de 2 à 7 sont $1,2,3,3,2,1$, dont le total est 12.

Le tableau rappelle les douze couples possibles, les trois couples donnant la somme 5 et les effectifs des six sommes successives. Il ne dessine pas la grille des couples. Vous pouvez construire cette grille avec trois lignes et quatre colonnes, puis compter les diagonales de somme constante pour retrouver les effectifs.