Groupes, sous-groupes et ordre d’un élément

Un groupe est un ensemble muni d'une loi associative, d'un élément neutre et d'un inverse pour chaque élément. La commutativité est une propriété supplémentaire : un groupe commutatif est dit abélien. Un sous-groupe est une partie qui contient le neutre et reste stable par la loi et les inverses.

L'ordre d'un élément est le plus petit entier positif dont la puissance vaut le neutre, lorsqu'un tel entier existe. En notation additive, on cherche le premier multiple nul. Dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, l'ordre de la classe de $k$ vaut $n/\gcd(n,k)$. Les éléments engendrés par une classe forment un sous-groupe cyclique.

Dans le groupe additif $\mathbb Z/12\mathbb Z$, les multiples de la classe de 8 donnent $0,8,4,0$. L'ordre vaut donc 3. La formule confirme $12/\gcd(12,8)=12/4=3$. La classe de 5 engendre tout le groupe car $\gcd(12,5)=1$. L'ordre du groupe est 12 ; l'ordre de chaque élément peut être plus petit.

Le tableau décrit un cycle de multiples modulo 12. Le premier retour au neutre termine le cycle ; il ne suffit pas de trouver un retour quelconque, car un multiple de l'ordre ramène lui aussi à zéro.