Mesure et intégrale de Lebesgue

L'intégrale de Lebesgue organise l'intégration à partir de la mesure des ensembles de valeurs. Pour une fonction étagée positive $s=\sum a_i\mathbf1_{A_i}$ à supports mesurables disjoints, elle vaut $\sum a_i\mu(A_i)$. Les fonctions positives générales sont approchées par des fonctions étagées ; les fonctions signées intégrables se traitent par leurs parties positive et négative.

La linéarité autorise aussi à sommer des indicatrices de supports qui se chevauchent, mais la valeur de la fonction est alors la somme sur l'intersection. On ne compte pas l'union une seule fois en oubliant les coefficients. Une fonction signée est intégrable lorsque l'intégrale de sa valeur absolue est finie.

Sur la droite munie de la mesure de Lebesgue, posez $f=2\mathbf1_{[0,2]}+3\mathbf1_{[1,3]}$. Sur $[0,1[$, la valeur est 2 ; sur $[1,2]$, elle est 5 ; sur $]2,3]$, elle est 3. Les points de bord ont mesure nulle. L'intégrale vaut $2\times1+5\times1+3\times1=10$. La linéarité donne aussi $2\times2+3\times2=10$, malgré le chevauchement.

Le tableau partitionne le domaine en trois morceaux disjoints, avec la hauteur correcte sur chacun. L'intersection reçoit la somme des deux coefficients. Cette représentation permet une vérification par l'aire de trois rectangles et une autre par linéarité.