Calcul décimal : le sens avant la virgule

À 2,4 € le mètre, acheter 1,3 m de ruban coûte $2{,}4\times1{,}3$ €. On achète un mètre puis trois dixièmes de mètre : 2,4 € plus 0,72 €, soit 3,12 €. Ce raisonnement explique le produit de deux nombres décimaux.

Acheter seulement 0,3 m coûte $2{,}4\times0{,}3=0{,}72$ €. Multiplier par un nombre positif inférieur à 1 diminue donc une quantité positive. La règle « multiplier rend plus grand » ne convient pas en général.

Avant de calculer, cherche une valeur plausible. Le prix de 1,3 m doit être supérieur à celui d’un mètre et inférieur à celui de deux mètres. 31,2 € et 0,312 € ne respectent pas cet encadrement.

Pour $2{,}4\times1{,}3$, calcule d’abord $24\times13=312$. Chaque facteur a été multiplié par dix : le produit entier est cent fois trop grand. Le résultat vaut donc 312 centièmes, soit 3,12. Pour deux facteurs comportant deux et un chiffres après la virgule, on travaille en millièmes : $1{,}25\times2{,}4=3$ car $125\times24=3000$ millièmes.

Pour une multiplication posée, on peut poser d’abord le produit entier en alignant les chiffres à droite, puis rétablir l’unité du résultat. Aligner les virgules est la règle de l’addition, pas la justification du produit.

Partager un décimal par un entier non nul inférieur à dix s’explique aussi par les unités : $6{,}72\div4$ revient à partager 672 centièmes en quatre. Chacun reçoit 168 centièmes, soit 1,68. Dans une division posée, après les unités, on poursuit les échanges en dixièmes puis centièmes. Certaines divisions n’ont pas d’écriture décimale finie : $1\div3=1/3$ reste une valeur exacte fractionnaire.

Un tissu coûte 4,8 € le mètre. Pour 2,3 m, le prix exact est $4{,}8\times2{,}3=11{,}04$ €. En arrondissant chaque facteur à l’unité, on trouve $5\times2=10$ € : c’est une estimation cohérente, pas le prix à payer. Une autre estimation bien expliquée pourrait convenir ; les exercices précisent la méthode pour rendre la réponse unique.

On partage ensuite 8,4 L de jus entre cinq récipients. Chaque récipient reçoit $8{,}4\div5=1{,}68$ L. On pouvait écrire 8,40 L pour travailler en centièmes. Vérification : $5\times1{,}68=8{,}4$.

L’unité reste essentielle : on partage un volume en litres, et le résultat est un volume en litres. Dans les exercices de prix, la valeur exacte avant arrondi peut avoir trois décimales ; un arrondi monétaire ne doit être fait que s’il est demandé.

Le rectangle représente 2,4 unités de longueur par 1,3 unité de largeur. Ses côtés sont séparés en 2 + 0,4 et 1 + 0,3. Les quatre aires sont 2 ; 0,4 ; 0,6 et 0,12. Leur somme vaut 3,12 unités d’aire. Le dessin donne le sens distributif du calcul ; ce n’est pas une représentation à l’échelle du prix d’un ruban.