Nombre dérivé et tangente : la pente en un point

Pour un mouvement repéré sur un axe, la vitesse algébrique moyenne est le déplacement divisé par la durée. La distance parcourue divisée par la durée donne une vitesse scalaire moyenne, qui ne coïncide avec la norme de la précédente que dans un mouvement sans retour en arrière. Mais que signifie « rouler à $50$ km/h à cet instant précis » ? À un instant, la durée est nulle et la distance aussi : le quotient $\dfrac{0}{0}$ ne veut rien dire. La physique s'en sort en prenant des durées de plus en plus courtes ; la dérivation est la mise au propre mathématique de cette idée.

Le taux de variation. Pour la définition usuelle à deux côtés, on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle ouvert contenant $a$. Les limites à une borne seront précisées séparément. Pour un réel $h \neq 0$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ est le quotient

Vous connaissez ce quotient depuis le collège : c'est le coefficient directeur de la droite qui passe par les deux points $A(a\ ;\ f(a))$ et $M(a + h\ ;\ f(a + h))$ de la courbe. Une droite qui coupe la courbe en deux points s'appelle une sécante ; le taux de variation est la pente de la sécante $(AM)$. Pour une fonction affine, ce taux est le même quel que soit $h$ : c'est la pente de la droite, partout. Pour une fonction quelconque, il peut dépendre de $h$.

Passer à la limite. Prenons $f(x) = x^2$ et $a = 1$. Le taux entre $1$ et $1 + h$ vaut

Pour $h = 1$, il vaut $3$ ; pour $h = 0{,}1$, $2{,}1$ ; pour $h = 0{,}01$, $2{,}01$ ; pour $h = -0{,}01$, $1{,}99$. Plus $h$ est proche de $0$, plus le taux est proche de $2$ — et il s'en approche autant qu'on veut. On dit que le taux tend vers $2$ quand $h$ tend vers $0$. Remarquez bien que l'on n'a jamais posé $h = 0$ (le quotient serait $\dfrac{0}{0}$) : on a simplifié par $h$ d'abord, ce qui est légitime tant que $h \neq 0$, puis regardé vers quoi tend ce qui reste.

Définition. On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux de variation $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel quand $h$ tend vers $0$. Ce nombre s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$.

Ainsi, pour la fonction carré, $f'(1) = 2$. Le nombre dérivé est un nombre, attaché à un point précis — pas une fonction, pas une expression en $x$. Il faut le distinguer soigneusement de $f(a)$ : $f(1) = 1$ est l'ordonnée du point de la courbe, $f'(1) = 2$ mesure la vitesse à laquelle $f$ varie en ce point.

Ce que dit ce nombre. Si $f(t)$ est la coordonnée d’un mobile sur un axe à l’instant $t$, le taux de variation est sa vitesse algébrique moyenne et $f'(t)$ sa vitesse algébrique instantanée ; la vitesse scalaire instantanée vaut $|f'(t)|$ : la limite des vitesses moyennes sur des durées de plus en plus courtes. Le signe indique le sens sur l’axe, tandis que la valeur absolue mesure la rapidité du déplacement.

Des sécantes à la tangente. Reprenons la courbe de $f$ et le point $A(a\ ;\ f(a))$. Quand $h$ tend vers $0$, le point $M(a + h\ ;\ f(a + h))$ glisse le long de la courbe vers $A$, et la sécante $(AM)$ pivote autour de $A$. Si $f$ est dérivable en $a$, la pente de cette sécante tend vers $f'(a)$ : la sécante se rapproche d'une position limite, la droite passant par $A$ de coefficient directeur $f'(a)$. Cette droite s'appelle la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.

Définition. Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à la courbe de $f$ au point $A(a\ ;\ f(a))$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.

Son équation. Une droite de coefficient directeur $m$ passant par le point $(a\ ;\ f(a))$ a pour équation $y - f(a) = m(x - a)$ : c'est la définition même du coefficient directeur, appliquée entre le point $A$ et un point courant $(x\ ;\ y)$ de la droite. Avec $m = f'(a)$ :

Retenez la structure : la pente multiplie l'écart $x - a$, pas $x$. Écrire $y = f'(a)\,x + f(a)$ donne une droite de la bonne pente mais qui, sauf si $a f'(a)=0$, ne passe pas par $A$ — ce n'est pas la tangente. Le contrôle est immédiat : en remplaçant $x$ par $a$, on doit retrouver $y = f(a)$. Une tangente horizontale correspond à $f'(a) = 0$ : le taux de variation instantané est nul ; cela ne prouve ni constance sur un intervalle ni extremum.

Calculer avec la définition. Dans les trois calculs de référence suivants, on peut simplifier le taux pour calculer sa limite. Cette possibilité de simplification n’est pas une méthode universelle pour toutes les fonctions.

• Fonction carré en $a$ quelconque : $\dfrac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \longrightarrow 2a$. Donc $f'(a) = 2a$.
• Fonction inverse en $a \neq 0$ : $\dfrac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h} = \dfrac{a - (a + h)}{h\,a\,(a + h)} = \dfrac{-h}{h\,a\,(a + h)} = \dfrac{-1}{a(a + h)} \longrightarrow -\dfrac{1}{a^2}$. Donc $f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}$.
• Fonction racine carrée en $a > 0$ : on multiplie par la quantité conjuguée, $\dfrac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \dfrac{(a + h) - a}{h\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}} \longrightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{a}}$. Donc $f'(a) = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.

Ces trois calculs annoncent les formules de dérivation de la leçon suivante ; ici, l'important est le mécanisme — le terme qui contient $h$ disparaît à la limite.

Quand la dérivée n'existe pas. La définition contient une condition : le taux doit tendre vers un nombre réel. Deux cas classiques y échappent.

• La racine carrée en $0$ : le taux entre $0$ et $h > 0$ vaut $\dfrac{\sqrt{h} - 0}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}$, qui devient aussi grand qu'on veut quand $h$ tend vers $0$. Il ne tend vers aucun nombre réel fini : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$. À cette borne du domaine, sa courbe possède une demi-tangente verticale, qui n'a pas de coefficient directeur.
• La valeur absolue en $0$ : le taux vaut $\dfrac{|h|}{h}$, soit $1$ si $h > 0$ et $-1$ si $h < 0$. Selon le côté par lequel $h$ approche $0$, le taux ne tend pas vers la même valeur : pas de limite, pas de nombre dérivé. La courbe a un « point anguleux » en $0$, et aucune tangente.

La dérivabilité en $a$ fournit une approximation affine locale : $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varepsilon(h)h$, avec $\varepsilon(h)\to0$. La différence avec la tangente devient négligeable devant $h$ ; les deux courbes ne sont pas pour autant égales, et une dérivabilité en un seul point ne garantit pas une courbe lisse dans tout un voisinage.

La tangente peut traverser la courbe, ou la rencontrer ailleurs. Le mot « tangente » vient de toucher, et pour un cercle ou une parabole la tangente ne rencontre la courbe qu'au point de contact. Ce n'est pas une règle générale : la courbe de $x \mapsto x^3$ a en $0$ la tangente $y = 0$ (l'axe des abscisses, puisque le taux $\dfrac{h^3}{h} = h^2$ tend vers $0$), et elle traverse cette tangente en $0$ — négative à gauche, positive à droite. Un autre exemple, $g(x)=x^3-x^2$, a en 0 la tangente $y=0$, rencontrée de nouveau en $x=1$. La tangente est définie par une pente au point de contact, pas par le nombre de points communs.

Énoncé. Pour $f(x)=x^3$ sur $\mathbb R$, calculez le nombre dérivé en $a=1/2$ par la définition. Donnez la tangente et utilisez-la pour approcher $f(0{,}52)$, puis contrôlez exactement l’erreur.

Former le taux. Pour $h\neq0$,

Le taux tend vers $3/4$, donc $f'(1/2)=3/4$. L’image vaut $f(1/2)=1/8$ : pente et ordonnée restent deux objets différents.

Écrire la droite.

Elle passe bien par $(1/2;1/8)$. Pour $x=0{,}52$, elle donne $T(0{,}52)=0{,}14$.

Calculer le reste plutôt que le supposer nul. Ici $h=0{,}02$ et l’identité exacte est

L’erreur vaut donc $0{,}000608$. Le calcul direct confirme $f(0{,}52)=0{,}140608$, différent de l’approximation 0,14.

Borner l’erreur dans une fenêtre. Si $|h|\leqslant0{,}02$, alors $|3/2+h|\leqslant1{,}52$, d’où $|f(1/2+h)-T(1/2+h)|\leqslant1{,}52h^2\leqslant0{,}000608$. Cette borne vient de l’expression du reste ; elle n’est pas une précision universelle de toutes les tangentes.

Figure (SVG programmatique existant) : trois panneaux — le passage à la limite dessiné, le zoom qui confond courbe et tangente, et les deux cas où le nombre dérivé n’existe pas.

• Panneau 1 — les sécantes vers la tangente. Repère orthonormé, $x$ de $-0{,}5$ à $4{,}5$, $y$ de $-2$ à $6$. La parabole de $f(x) = x^2 - 3x + 1$ (exemple distinct du guidage) et le point $A(2\ ;\ -1)$ marqué d'un disque plein. Trois sécantes issues de $A$, en traits de plus en plus fins : par $M_2(4\ ;\ 5)$, pente $3$ ; par $M_1(3\ ;\ 1)$, pente $2$ ; par $M_{0{,}5}(2{,}5\ ;\ -0{,}25)$, pente $1{,}5$ — chaque point $M$ est marqué d'un cercle vide et coté par son $h$ ($h = 2$, $h = 1$, $h = 0{,}5$). La tangente $y = x - 3$ en trait épais, avec un triangle de pente en tirets (une unité à droite, une unité en haut) coté « pente $f'(2) = 1$ ». Une flèche courbe suggère la rotation des sécantes vers la tangente. En insert, un petit tableau : « $h$ : $2$ ; $1$ ; $0{,}5$ ; $0{,}1$ — taux $1 + h$ : $3$ ; $2$ ; $1{,}5$ ; $1{,}1$ → $1$ ».
• Panneau 2 — le zoom. Le même point $A$ vu dans une fenêtre dix fois plus petite ($x$ de $1{,}8$ à $2{,}2$) : la parabole et la tangente y sont presque indiscernables, la parabole légèrement au-dessus. Cartouche : « de près, la courbe ressemble à sa tangente : $f(2 + h) \approx -1 + h$ pour $h$ petit ».
• Panneau 3 — deux courbes sans nombre dérivé en $0$. Deux vignettes. À gauche, $y = |x|$ : deux demi-droites formant un angle en $O$, avec deux demi-tangentes de pentes $-1$ et $+1$ en tirets, mention « taux $= \pm 1$ selon le côté : pas de limite ». À droite, $y = \sqrt{x}$ : la demi-courbe partant de $O$ à la verticale, avec l'axe des ordonnées en tirets comme tangente verticale, mention « taux $= \dfrac{1}{\sqrt{h}}$, sans borne : pas de nombre dérivé ». En bas, une troisième miniature : $y = x^3$ et sa tangente en $0$ (l'axe des abscisses), la courbe la traversant — mention « une tangente peut recouper la courbe ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 est la définition en image : les pentes des sécantes, $1 + h$, se rapprochent de $1$ à mesure que $M$ se rapproche de $A$, et la droite limite est la tangente. Le panneau 2 dit à quoi sert ce nombre : près de $A$, l’écart entre la courbe et la tangente devient négligeable devant l’écart des abscisses — c'est ce qui fait de la tangente la meilleure approximation affine locale. Le panneau 3 délimite la notion : un angle ou une pente infinie ne donnent pas de nombre dérivé, et le nombre de points communs entre la courbe et sa tangente n'entre pas dans la définition.

La figure en détail : à gauche, une parabole tournée vers le haut et, sur elle, un point marqué d'un disque en abscisse deux et hauteur moins un ; trois droites de plus en plus fines passent par ce point et par un second point de la courbe, de plus en plus proche : en abscisse quatre (hauteur cinq, pente trois), en abscisse trois (hauteur un, pente deux), en abscisse deux et demi (hauteur moins zéro virgule vingt-cinq, pente un et demi) ; une droite épaisse, la tangente, monte d'une unité par unité, et une flèche courbe suggère que les droites fines pivotent vers elle ; un petit tableau en insert aligne les pentes trois, deux, un et demi, un virgule un, qui se rapprochent de un. Au centre, un zoom sur le même point dans une fenêtre dix fois plus étroite : la courbe et la droite épaisse y sont presque confondues, la courbe légèrement au-dessus. À droite, trois vignettes : la courbe en forme de V de la valeur absolue, avec un angle à l'origine et deux demi-droites en tirets de pentes moins un et plus un ; la demi-courbe de la racine carrée, qui part de l'origine à la verticale, l'axe vertical en tirets lui servant de tangente ; la courbe du cube et sa tangente horizontale à l'origine, que la courbe traverse.