Nombres décimaux : chaque chiffre à sa place

Deux étiquettes dans un rayon de supermarché : un pain à $2{,}5$ € et une brique de lait à $2{,}45$ €. Lequel est le plus cher ?

Beaucoup d'élèves répondent le lait, parce que $45$ est plus grand que $5$. C’est faux : comparer les deux parties décimales comme des entiers indépendants ignore leur rang. Le pain, à $2{,}5$ €, coûte $2$ € et $50$ centimes. Le lait, à $2{,}45$ €, coûte $2$ € et $45$ centimes. Le pain est plus cher.

Pourquoi cette erreur est-elle si tentante ? Parce qu'on croit que la virgule coupe le nombre en deux morceaux : un nombre entier à gauche, un autre nombre entier à droite. C'est cette idée-là qu'il faut abandonner aujourd'hui.

Un nombre décimal est un nombre qui possède une écriture à virgule avec un nombre fini de chiffres après la virgule. La virgule ne sépare pas deux nombres : elle marque la place des unités, juste à sa gauche.

Ce qui décide de la valeur d'un chiffre, c'est sa place. Exactement comme dans les entiers, où le $3$ de $30$ ne vaut pas le $3$ de $300$. Chaque place porte un nom, et chaque place vaut dix fois moins que sa voisine de gauche.

Lis maintenant la colonne des dixièmes, la première après la virgule. Dans $2{,}45$, il y a $4$ dixièmes. Dans $2{,}5$, il y en a $5$. Or $5$ dixièmes, c'est plus que $4$ dixièmes. La comparaison est tranchée dès cette colonne, et les chiffres suivants n'y changeront plus rien.

Le geste qui règle tout : compléter par des zéros. Un zéro ajouté à la fin de la partie décimale ne change pas le nombre, parce qu'il n'ajoute aucun centième ni aucun millième.

Écris donc les deux prix avec le même nombre de décimales :

Maintenant, et seulement maintenant, tu peux comparer les parties décimales comme deux entiers : $50 > 45$. Le pain est bien le plus cher.

Attention à ne pas déformer la règle. Un zéro ajouté à la fin de la partie décimale est inoffensif. Un zéro ajouté ailleurs peut modifier la valeur : $2{,}05$ n'est pas $2{,}5$, et $20{,}5$ non plus.

La méthode de comparaison, en trois temps. Elle s’applique ici aux décimaux positifs ou nuls. Les nombres négatifs demanderaient de tenir compte du signe, ce qui n’est pas le périmètre de cette leçon.

1. Compare d’abord les parties entières, celles qui sont à gauche de la virgule. Si elles diffèrent, c'est fini : $8{,}1 > 7{,}99$, parce que $8 > 7$. Inutile de regarder plus loin.
2. Si les parties entières sont égales, complète les parties décimales avec des zéros à la fin, pour qu'elles aient le même nombre de chiffres.
3. Compare alors chiffre par chiffre, en partant des dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes. Le premier chiffre qui diffère décide, et la comparaison s'arrête là.

Un exemple complet. Range $7{,}4$, $7{,}25$, $7{,}305$ et $7{,}08$ dans l'ordre croissant. Les quatre parties entières valent $7$ : on complète.

On compare les dixièmes : $4$, $2$, $3$, $0$. Cela suffit à tout ranger.

Regarde bien $7{,}305$ : c'est le nombre qui a le plus de chiffres après la virgule, et pourtant ce n'est pas le plus grand. Une partie décimale plus longue n'a jamais voulu dire un nombre plus grand.

Chaque décimal a une place précise sur la droite graduée. Entre deux entiers, la droite se découpe en dix intervalles égaux : ce sont les dixièmes. Entre deux dixièmes, on peut encore découper en dix : ce sont les centièmes. C'est un zoom qui ne s'arrête jamais.

Cela répond à une question que beaucoup d'élèves se posent. Entre $2{,}4$ et $2{,}5$, y a-t-il un nombre ? Oui, et pas qu'un seul : $2{,}41$, $2{,}42$, $2{,}437$, $2{,}4999$… Contrairement aux entiers, où $4$ et $5$ sont voisins immédiats, deux décimaux distincts ne sont jamais voisins : on peut toujours en glisser un entre eux.

Additionner et soustraire : on aligne les virgules. C'est la seule chose à retenir pour poser une opération. Les unités doivent tomber sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes. Complète par des zéros à la fin pour que les deux nombres aient la même longueur, et la retenue se comportera exactement comme avec des entiers.

Multiplier ou diviser par $10$, par $100$, par $1\,000$. Multiplier par $10$, c'est faire passer chaque chiffre au rang immédiatement supérieur : les dixièmes deviennent des unités, les unités deviennent des dizaines. Sur le papier, tout se passe comme si la virgule se déplaçait d'un rang vers la droite. Diviser par $10$ la déplace d'un rang vers la gauche.

Multiplier ne rend pas toujours plus grand. Il faut distinguer le facteur et le nombre de départ ; les premières situations de multiplication ne suffisent pas à justifier une règle universelle.

$4$ est plus petit que $8$. Rien d'étrange : multiplier par $0{,}5$, c'est prendre la moitié. Retiens la règle : pour un nombre de départ strictement positif, multiplier par un facteur compris entre $0$ inclus et $1$ exclu donne un résultat plus petit ; un facteur supérieur à $1$ donne un résultat plus grand. Pour un nombre de départ nul, tous ces produits restent nuls. Multiplier par $1$ conserve le nombre.

Un lien avec le chapitre des fractions. Tout décimal s’écrit aussi comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de dix : $1$, $10$, $100$, $1\,000$, et ainsi de suite. Par exemple :

C'est même ce qui explique le nom de « nombre décimal » : decem veut dire « dix » en latin.

Une borne à connaître. Tous les nombres ne sont pas décimaux. Le tiers, par exemple, s'écrit $0{,}333\ldots$ sans jamais s'arrêter : aucune écriture à virgule finie ne le donne exactement. Cette distinction aide à lire un résultat : une calculatrice n’affiche pas toujours le nombre exact quand son développement décimal ne se termine pas.

Énoncé. Une planche mesure $2,5$ m. On en découpe deux morceaux de $0,845$ m et $0,760$ m. Pour cet exercice, on néglige la largeur du trait de scie. Le morceau restant permettra-t-il une troisième découpe de $0,9$ m ?

Additionner les longueurs déjà utilisées. En alignant les virgules et en complétant avec des zéros utiles :

Le zéro final de $0,760$ ne change pas la valeur ; il rend visible la colonne des millièmes.

Calculer ce qui reste.

On conserve la même unité dans tout le bilan.

Comparer avant de décider. On compare $0,895$ à $0,900$. Les dixièmes diffèrent : $8<9$. Le reste est donc inférieur à la longueur demandée. Il manque

La troisième découpe est impossible dans le modèle donné, même si le reste paraît proche de $0,9$ m.

Contrôle. $1,605+0,895=2,500$ m : les deux morceaux et le reste reconstituent la longueur initiale. Ce bilan ne tient pas compte d’une éventuelle perte de matière au sciage, explicitement écartée ici.

Figure (fig.math.decimal-place-value, SVG programmatique existant) : deux panneaux superposés qui montrent la même comparaison, d'abord par les rangs, ensuite par la position sur la droite.

• Panneau du haut — le tableau de numération. Un tableau à sept colonnes titrées, de gauche à droite : centaines, dizaines, unités, puis une colonne étroite portant la virgule, puis dixièmes, centièmes, millièmes. Un trait vertical épais sépare la colonne des unités de celle des dixièmes : c'est la place de la virgule, et elle ne bouge jamais.
• Première ligne de données : le nombre $2{,}45$, avec $2$ dans la colonne des unités, $4$ dans celle des dixièmes, $5$ dans celle des centièmes.
• Deuxième ligne : le nombre $2{,}5$ écrit $2{,}50$, avec $2$ aux unités, $5$ aux dixièmes, et un $0$ grisé aux centièmes, légendé « zéro ajouté à la fin : le nombre ne change pas ».
• La colonne des dixièmes est mise en avant sur toute sa hauteur par un fond hachuré, et une accolade la désigne avec la mention « c'est ici que la comparaison se décide : $5 > 4$ ».
• Sous le tableau, la conclusion $2{,}5 > 2{,}45$, et à côté, barrée d'une croix, l'écriture fautive $2{,}45 > 2{,}5$ avec la mention « comparaison des parties décimales lues comme des entiers ».
• Panneau du bas — le zoom sur la droite graduée, en deux étages reliés par deux traits obliques qui matérialisent l'agrandissement.
• Étage du haut : une droite graduée de $2$ à $3$, découpée en dix intervalles égaux, les graduations étiquetées $2{,}0$ ; $2{,}1$ ; … ; $3{,}0$. L'intervalle allant de $2{,}4$ à $2{,}5$ est encadré.
• Étage du bas : cet intervalle agrandi, de $2{,}40$ à $2{,}50$, redécoupé en dix intervalles égaux étiquetés $2{,}41$ ; $2{,}42$ ; … Deux points sont placés et nommés : $2{,}45$ au milieu, et $2{,}50$ à l'extrémité droite. Une flèche horizontale relie les deux, légendée « $2{,}45$ est à gauche de $2{,}50$ : il est plus petit ».
• Sous cet étage, la mention « et on pourrait continuer à zoomer : entre deux décimaux, il y en a toujours d'autres ».

Ce qu'il faut lire. Les deux panneaux disent la même chose de deux façons. Le tableau dit : c'est le rang qui donne sa valeur à un chiffre. La droite dit : chaque décimal a une place, et cette place se lit de gauche à droite comme sur une règle. Aucun des deux ne laisse la moindre chance à l'idée que $2{,}45$ dépasserait $2{,}5$.

La figure en détail : en haut, un tableau de numération à sept colonnes, des centaines aux millièmes, coupé par un trait épais entre les unités et les dixièmes. Le nombre 2,45 y occupe les cases 2, 4, 5. Le nombre 2,5, écrit 2,50, y occupe les cases 2, 5 et un zéro grisé. La colonne des dixièmes est hachurée : elle contient 4 pour le premier nombre et 5 pour le second, ce qui suffit à conclure que 2,5 est plus grand que 2,45. L'écriture inverse est montrée barrée. En bas, une droite graduée de 2 à 3 découpée en dix intervalles, dont l'intervalle de 2,4 à 2,5 est encadré puis agrandi en dessous et redécoupé en dix. Sur cet agrandissement, le point 2,45 est placé à gauche du point 2,50.