Les nombres relatifs : lire, comparer, calculer

Jusqu’ici, tu as travaillé avec des nombres qui comptent des quantités : $3$ billes, $12{,}5$ cm. Aucun de ces nombres n'est plus petit que zéro.

Certaines situations demandent pourtant d'aller au-dessous de zéro. Un matin d'hiver, la météo annonce quatre degrés au-dessous de zéro. Dans un immeuble, le parking est au-dessous du rez-de-chaussée. Sur une carte, le fond d'un lac est au-dessous du niveau de la mer.

Pour écrire ces situations, on utilise les nombres relatifs : des nombres qui portent un signe, $+$ ou $-$, indiquant de quel côté de zéro ils se trouvent.

• Un nombre strictement positif, comme $(+4)$, est au-dessus de zéro. On peut aussi l'écrire simplement $4$.
• Un nombre strictement négatif, comme $(-4)$, est au-dessous de zéro. Son signe $-$ ne se supprime jamais.
• Zéro est un cas à part : c'est le seul nombre à la fois positif et négatif. C'est le point de départ, l'origine.

Un exemple concret. Il fait $-4$ °C ce matin. Cela ne veut pas dire qu'il y a « quatre degrés ». Cela veut dire qu'il fait quatre degrés plus froid que le zéro du thermomètre.

La droite graduée. Pour voir les relatifs, on trace une droite, on choisit un point pour zéro, puis on reporte la même longueur de part et d'autre. Les positifs se placent à droite de zéro, les négatifs à gauche. Chaque nombre relatif a alors une seule place sur cette droite.

La distance à zéro. La distance à zéro d'un nombre relatif est ce nombre écrit sans son signe : la distance à zéro de $(-7)$ vaut $7$, et celle de $(+7)$ vaut aussi $7$. C'est la longueur qui sépare le nombre de l'origine sur la droite graduée.

Deux nombres opposés. Deux nombres non nuls sont opposés quand ils ont la même distance à zéro mais des signes contraires. Zéro est son propre opposé. $(+7)$ et $(-7)$ sont opposés. Sur la droite graduée, ils encadrent le zéro, à la même distance de lui.

Comparer, c'est regarder la place, pas les chiffres. Sur la droite graduée, un nombre est plus grand qu'un autre quand il est placé plus à droite. Cela donne trois règles simples.

1. Tout nombre strictement positif est plus grand que tout nombre strictement négatif ; zéro se place entre eux.
2. Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus grande : $(+2) < (+7)$.
3. Entre deux nombres négatifs, c'est l'inverse : le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus petite. Ainsi $(-7) < (-2)$.

Cette troisième règle surprend toujours. Elle se comprend avec le thermomètre : $-7$ °C, c'est plus froid que $-2$ °C, donc c'est bien une température plus petite.

Additionner, c'est se déplacer sur la droite graduée. Ajouter un nombre positif, c'est avancer vers la droite. Ajouter un nombre négatif, c'est reculer vers la gauche. Le résultat est le point où l'on arrive.

Si un terme vaut zéro, la somme est l’autre terme. Pour deux termes non nuls, on distingue les deux cas suivants.

Premier cas : les deux nombres ont le même signe. On additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun.

Tu recules de $3$, puis tu recules encore de $5$ : tu te retrouves à $8$ pas à gauche de zéro. Deux nombres négatifs additionnés donnent un nombre encore plus éloigné de zéro, du côté négatif. Le résultat n'est jamais positif dans ce cas.

Deuxième cas : les deux nombres ont des signes contraires. Si leurs distances à zéro sont égales, leur somme vaut zéro. Sinon : On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro.

Ici, les distances à zéro valent $4$ et $9$. On calcule $9 - 4 = 5$. Le nombre le plus éloigné de zéro est $(-9)$, qui est négatif : le résultat est donc $(-5)$.

Soustraire, c'est ajouter l'opposé. C'est la règle la plus utile du chapitre. Retrancher un nombre revient à ajouter son opposé :

Pourquoi ? La différence $a-b$ décrit la variation signée pour aller de $b$ à $a$. Ici, elle est positive et coïncide avec l’écart. Sur la droite graduée, aller de $(-8)$ à $(-3)$, c'est monter de $5$ crans. Une fois la soustraction transformée en addition, tu retombes sur les deux cas précédents : il n'y a rien de nouveau à apprendre.

Deux signes qui se suivent ne jouent pas le même rôle. Dans $(-3) - (-8)$, le premier tiret est le signe du nombre $(-3)$. Le deuxième est l'opération de soustraction. Le troisième est le signe du nombre $(-8)$. Trois tirets, trois rôles différents. C'est pour cela qu'on écrit les nombres relatifs entre parenthèses tant qu'on n'est pas à l'aise.

Distinguer un écart d’une variation signée. Un écart est une distance, donc un nombre positif ou nul : on retranche la plus petite valeur de la plus grande. La variation signée est la valeur finale moins la valeur initiale ; elle peut être négative. Par exemple, passer de $+4$ °C à $-6$ °C donne une variation de $-10$ °C, mais un écart de $10$ °C. Entre $-6$ °C et $+4$ °C, l'écart vaut $4 - (-6) = 4 + 6 = 10$ °C.

Une somme de plusieurs termes se calcule deux par deux. Pour $(-6) + (+9) + (-4)$, on traite d'abord $(-6) + (+9) = (+3)$, puis $(+3) + (-4) = (-1)$. Rien n'oblige à aller de gauche à droite, mais c'est le plus sûr tant qu'on débute.

Périmètre choisi : cette leçon travaille l’addition, la soustraction et la comparaison. La multiplication et la division de relatifs seront étudiées séparément ; leurs règles ne remplacent pas celles de l’addition.

Énoncé. Une cabine commence au niveau $-2$. Elle monte de $7$ niveaux, puis redescend de $4$ niveaux. Quelle est sa position finale ? Quelle est la variation signée entre départ et arrivée, et combien de niveaux a-t-elle parcourus au total ? On suppose les niveaux régulièrement espacés et on compte seulement les déplacements verticaux.

Suivre les changements. Une montée ajoute un nombre positif ; une descente ajoute un nombre négatif :

La position finale est donc le niveau $+1$.

Calculer la variation signée. On soustrait la position initiale de la position finale :

La cabine termine 3 niveaux plus haut qu’au départ. L’écart entre ses deux positions de départ et d’arrivée vaut $3$ niveaux ; il est positif, contrairement à une variation signée qui pourrait être négative.

Ne pas confondre avec le chemin parcouru. La cabine a monté $7$ niveaux puis descendu $4$ niveaux : elle en a parcouru $7+4=11$ au total. Les signes décrivent le sens des changements ; ils ne retranchent pas une distance réellement parcourue.

Contrôle. La somme des changements vaut $(+7)+(-4)=+3$. En l’ajoutant à la position initiale, $(-2)+(+3)=+1$, on retrouve l’arrivée. Les trois résultats répondent à trois questions différentes : position $+1$, variation $+3$, chemin $11$.

Figure (fig.math.relative-number-line, SVG programmatique existant) : une droite graduée horizontale surmontée de deux déplacements fléchés, qui montre qu'additionner un relatif, c'est se déplacer.

• Droite graduée, au centre de l'image, allant de $-10$ à $+10$, graduée de $1$ en $1$, avec le nombre écrit sous chaque graduation. Le zéro est marqué d'un trait plus épais et du mot « origine ». Le côté gauche porte l'étiquette « négatifs », le côté droit « positifs ».
• Sous la droite, un thermomètre couché à l'horizontale, aligné graduation par graduation avec elle, de sorte que $-4$ sur la droite tombe exactement en face de $-4$ °C sur le thermomètre. La zone au-dessous de zéro y est plus sombre.
• Au-dessus de la droite, premier déplacement : deux flèches courbes bout à bout partant de $0$. La première va de $0$ à $-3$, orientée vers la gauche, étiquetée $(-3)$. La seconde repart de $-3$ jusqu'à $-8$, toujours vers la gauche, étiquetée $(-5)$. Un crochet réunit les deux flèches et porte $(-3) + (-5) = (-8)$.
• Au-dessus encore, second déplacement : une flèche de $0$ à $+4$ vers la droite, étiquetée $(+4)$, puis une flèche de $+4$ à $-5$ vers la gauche, étiquetée $(-9)$, qui traverse visiblement le zéro. Un crochet porte $(+4) + (-9) = (-5)$.
• Encart des opposés, en bas à droite, séparé par un filet : le segment de $-7$ à $0$ et celui de $0$ à $+7$, tracés exactement de la même longueur, réunis par une accolade portant « même distance à zéro : $7$ ». La mention « $(-7)$ et $(+7)$ sont opposés » figure sous l'accolade.
• Encart de comparaison, en bas à gauche : les deux points $-7$ et $-2$ mis en évidence sur la droite, avec la mention « $-7$ est à gauche de $-2$, donc $(-7) < (-2)$ » et, barrée, l'écriture fausse « $-7 > -2$ car $7 > 2$ ».

Ce qu'il faut lire. Ajouter un nombre négatif fait toujours reculer vers la gauche ; ajouter un nombre positif fait toujours avancer vers la droite. Le second déplacement montre le franchissement du zéro : c'est exactement le cas des signes contraires. Et l'encart de comparaison montre du regard pourquoi le plus grand nombre écrit n'est pas le plus grand nombre relatif.

La figure en détail : une droite graduée horizontale de moins dix à plus dix, graduée de un en un, le zéro marqué comme origine, les négatifs à gauche et les positifs à droite. Un thermomètre couché est aligné sous la droite, graduation par graduation, sa partie négative assombrie. Au-dessus de la droite, deux flèches successives partent de zéro vers la gauche, l'une de zéro à moins trois, l'autre de moins trois à moins huit ; un crochet porte moins trois plus moins cinq égale moins huit. Plus haut, une flèche va de zéro à plus quatre vers la droite, puis une flèche va de plus quatre à moins cinq vers la gauche en traversant le zéro ; un crochet porte plus quatre plus moins neuf égale moins cinq. En bas à droite, deux segments de même longueur, de moins sept à zéro et de zéro à plus sept, sont réunis par une accolade indiquant une même distance à zéro de sept, avec la mention que moins sept et plus sept sont opposés. En bas à gauche, les points moins sept et moins deux sont mis en évidence avec la mention que moins sept est à gauche de moins deux, donc plus petit, et l'écriture fausse moins sept supérieur à moins deux est barrée.